Bài tập cuối chương 3

Bài tập cuối chương 3 trang 43 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

A. CÂU HỎI (Trắc nghiệm)

Chọn phương án đúng trong mỗi câu sau:

1. Trong các câu sau, câu nào đúng?

A. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình thoi.

B. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.

C. Hình thang có các đường chéo bằng nhau là hình thoi.

D. Hình bình hành có các đường chéo vuông góc là hình thoi.

Giải

Tứ giác có các cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành. Do đó A là khẳng định sai.

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc chưa đủ dữ kiện để khẳng định đây là hình thoi. Do đó B là khẳng định sai.

Hình thang có các đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Do đó C là khẳng định sai.

Hình bình hành có các đường chéo vuông góc là hình thoi. Do đó D là khẳng định đúng.

Chọn đáp án D.

\(\)

2. Trong các câu sau, câu nào đúng?

A. Trong hình thoi, hai đường chéo bằng nhau.

B. Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc.

C. Trong hình thang, hai đường chéo bằng nhau.

D. Trong hình thang, hai đường chéo song song.

Giải

Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó phương án B là khẳng định đúng.

Chọn đáp án B.

\(\)

3. Tìm câu sai trong các câu sau:

A. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

B. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

C. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

D. Hình chữ nhật có bốn góc vuông là hình vuông.

Giải

Hình chữ nhật có bốn góc vuông nên luôn là hình chữ nhật, chưa đủ dữ kiện để khẳng định đây là hình vuông. Do đó phương án D là khẳng định sai.

Chọn đáp án D.

\(\)

4. Cho các câu sau:

a) Tứ giác mà hai góc kề một cạnh tuỳ ý của nó là hai góc bù nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác mà hai góc kề một cạnh tuỳ ý của nó là hai góc bằng nhau là một hình chữ nhật.

c) Tứ giác có một cặp cạnh đối mà mỗi cạnh có hai góc kề nó bằng nhau là một hình thang cân.

Số các câu sai là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Giải

Khẳng định a là khẳng định đúng, đây là kết quả ta đã chứng minh ở Bài 3.15, trang 37, SBT Toán 8 Tập Một.

Giả sử tứ giác ABCD có \(\widehat{A} =\widehat{B}\) là hai góc cùng kề cạnh AB, tương tự \(\widehat{B}=\widehat{C},\ \widehat{C}=\widehat{D},\ \widehat{D}=\widehat{A}.\)

Do đó \(\widehat{A} =\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}.\)

Mà tứ giác ABCD có \(\widehat{A} +\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\) nên \(\widehat{A} =\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^o.\)

Do đó ABCD là hình chữ nhật.

Vậy khẳng định b là đúng.

Giả sử tứ giác ABCD có \(\widehat{A} =\widehat{B}\) và \(\widehat{C}=\widehat{D}\)

Mà \(\widehat{A} +\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\) nên \(2\widehat{A} +2\widehat{D} =360^o\)

Do đó \(\widehat{A} +\widehat{D}=180^o\) nên AB // CD.

Tứ giác ABCD có AB // CD nên là hình thang, lại có \(\widehat{C}=\widehat{D}\) nên là hình thang cân.

Vậy cả ba khẳng định đã cho đều đúng, không có khẳng định nào sai.

Chọn đáp án A.

\(\)

B. BÀI TẬP

3.28. Cho tam giác ABC. Với mỗi điểm M nằm giữa B và C, lấy điểm N thuộc cạnh AB, điểm P thuộc cạnh AC sao cho MN // AC, MP // AB.

a) Hỏi tứ giác ANMP là hình gì?

b) Hỏi M ở vị trí nào để tứ giác ANMP là một hình thoi?

c) Tam giác ABC phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác ANMP là một hình chữ nhật?

d) Khi tam giác ABC thoả mãn điều kiện nói trong câu c, tìm vị trí của M để NP ngắn nhất.

e) Tam giác ABC thoả mãn điều kiện gì và M ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác ANMP là một hình vuông?

Giải

Cho tam giác ABC. Với mỗi điểm M nằm giữa B và C lấy điểm N thuộc cạnh AB

a) Ta có NM // AC hay MN // AP (do P ∈ BC)

MP // AB hay MP // AN (do N ∈ AB)

Tứ giác ANMP có MN // AP và MP // AN nên là hình bình hành.

b) Để ANMP là hình thoi thì tia AM phải là tia phân giác của góc A.

c) Để ANMP là hình chữ nhật thì hình bình hành ANMP phải có 1 góc vuông.

Khi đó thì góc A phải vuông tức là tam giác ABC vuông tại A.

d) Khi góc A là góc vuông, ANMP là hình chữ nhật nên AM = NP.

Vậy NP ngắn nhất khi AM ngắn nhất, lúc này AM là đường cao của tam giác ABC.

e) Tứ giác ANMP là hình vuông thì nó phải là hình chữ nhật và là hình thoi tức là tam giác ABC vuông tại A và có tia AM là phân giác của góc A.

\(\)

3.29. Gọi H là giao của ba đường cao AI, BJ, CK của tam giác nhọn ABC. Dùng công thức tính diện tích tam giác để chứng minh: \(\displaystyle\frac{HI}{AI}+\displaystyle\frac{HJ}{BJ}+\displaystyle\frac{HK}{CK}=1.\)

Hỏi khi góc A của tam giác ABC là góc tù thì công thức đó thay đổi thế nào?

Giải

Kí hiệu S là diện tích tam giác, ta có:

\(\displaystyle\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}⋅HI⋅BC}{\displaystyle\frac{1}{2}⋅AI⋅BC}=\displaystyle\frac{HI}{AI}.\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(\displaystyle\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\displaystyle\frac{HJ}{BJ}\) và \(\displaystyle\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\displaystyle\frac{HK}{CK}.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{HI}{AI}+\displaystyle\frac{HJ}{BJ}+\displaystyle\frac{HK}{CK}=S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}S_{ABC}\) (do H nằm bên trong tam giác ABC).

Do đó \(\displaystyle\frac{HI}{AI}+\displaystyle\frac{HJ}{BJ}+\displaystyle\frac{HK}{CK}=\displaystyle\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1.\)

Khi góc A là góc tù, H nằm trong góc đối đỉnh với góc BAC, ta có:

\(S_{ABC} = S_{HBC}-S_{HAB}-S_{HAC}\) nên ta được \(1=\displaystyle\frac{HI}{AI}-\displaystyle\frac{HJ}{BJ}-\displaystyle\frac{HK}{CK}.\)

\(\)

3.30. Khái niệm tam giác, tứ giác có thể mở rộng thành khái niệm n – giác (n là số tự nhiên lớn hơn 2) như sau:

n – giác là hình tạo bởi n đoạn thẳng (gọi là cạnh của n – giác) A₀A₁, A₁A₂, …, A_n-1A_n, A_nA₀ (các điểm A₀, A₁, …, A_n gọi là đỉnh của n – giác), trong đó không có ba đỉnh nào cùng nằm trên một đường thẳng và hình nằm về một phía đối với mỗi đường thẳng chứa một cạnh.

Khi n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, n – giác còn được gọi lần lượt là tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác, thất giác, bát giác.

Hai đỉnh của n – giác gọi là kề nhau nếu chúng là hai đỉnh của một cạnh của n – giác.

Đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của n – giác gọi là một đường chéo của n – giác.

a) Chứng minh qua mỗi đỉnh của n – giác, có n – 3 đường chéo của n – giác. Từ đó suy ra n – giác có \(\displaystyle\frac{n(n-3)}{2}\) đường chéo.

b) Hãy vẽ tất cả các đường chéo của một ngũ giác (n = 5).

Giải

a) Không có đường chéo nào của n – giác nối một đỉnh cho trước với chính đỉnh đó và với hai đỉnh kề với đỉnh đó nên có n – 3 đường chéo của n – giác đi qua đỉnh đang xét.

Tính theo cách đó thì n – giác có n(n – 3) đường chéo, nhưng mỗi đường chéo đã được tính hai lần (mỗi đường chéo có hai đầu mút là hai đỉnh của n – giác) nên n – giác có tất cả \(\displaystyle\frac{n(n-3)}{2}\) đường chéo.

b) Giả sử ta có ngũ giác ABCDE, khi đó ngũ giác này có \(\displaystyle\frac{5(5-3)}{2}=5\) đường chéo, đó là: AC, AD, BD, BE, CE.

\(\)

3.31. Hai cạnh kề nhau của một n – giác là hai cạnh có cùng chung một đỉnh của n – giác đó; chúng xác định hai tia của một góc gọi là góc tại đỉnh đó của n – giác. Mỗi n – giác có n góc.

a) Kẻ n-3 đường chéo của n – giác cùng đi qua đỉnh A0, thì n – giác được chia thành bao nhiêu tam giác, từ đó suy ra tổng các góc của n – giác bằng (n-2).180°.

b) Góc kề bù với một góc tại một đỉnh của n – giác gọi là một góc ngoài tại đỉnh đó của n – giác. Với mỗi đỉnh của một n – giác, xét một góc ngoài tại đỉnh đó của n – giác thì hỏi tổng n góc ngoài đó bằng bao nhiêu?

Giải

a) Kẻ n-3 đường chéo đi qua một đỉnh cho trước của n – giác thì chúng chia n – giác thành n – 2 tam giác.

Tổng các góc của n – giác là tổng các góc của các tam giác đó nên tổng đó bằng (n – 2).180°.

b) Nếu một góc của n – giác có số đo là α° thì góc ngoài tại đỉnh đó có số đo 180° – α°.

Từ đó tổng n góc ngoài có số đo là n.180° – tổng các góc của n – giác tức là n.180° – (n – 2).180° = 2.180° = 360°.

\(\)

3.32. n – giác gọi là n – giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc của nó bằng nhau.

a) Tính số đo mỗi góc của một n – giác đều.

b) Tứ giác đều là hình gì?

Giải

a) Số đo mỗi góc của n – giác bằng (n – 2).180°.

Mà n – giác đều có n góc bằng nhau nên số đo mỗi góc của n – giác đều là \(\displaystyle\frac{n-2}{n}\).180°.