Luyện tập chung

Chương 9 – Luyện tập chung trang 109 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

9.32. Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH. Biết rằng BH = 16 cm, CH = 9 cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AH.

b) Tính độ dài đoạn thằng AB và AC.

Giải

a) Hai tam giác vuông AHC (vuông tại H) và BHA (vuông tại H), có:

\(\widehat{ACH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{CAB}-\widehat{HAC}=\widehat{BAH}.\)

Do đó \(\Delta AHC ∽ \Delta BHA\) (cặp góc nhọn bằng nhau).

Suy ra \(\displaystyle\frac{AH}{CH}=\displaystyle\frac{BH}{AH}.\)

\(⇒AH^{2}=CH.BH=16.9=144\)

\(⇒AH=\sqrt{144}=12\ (cm).\)

b) Ta có \(AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}\) (định lý Pythagore)

\(AC^{2}=12^{2}+9^{2}=225\)

\(AC=15\ (cm).\)

Ta có \(AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}\) (định lý Pythagore)

\(AB^{2}=12^{2}+16^{2}=400\)

\(AB=20\ (cm).\)

\(\)

9.33. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Cho điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 4 cm. Vẽ đường thẳng MN vuông góc với AC tại N và đường thẳng MP vuông góc với AB.

Giải

a) Từ giả thiết, ta thấy \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

Theo định lí Pythagore đảo thì ABC là tam giác vuông tại A.

ta có AC ⊥ AB; MP ⊥ AB nên MP // AC.

Suy ra \(\widehat{BMP} = \widehat{MCN}\) (đồng vị).

Hai tam giác vuông BMP (vuông tại P) và MCN (vuông tại N) có \(\widehat {BMP} = \widehat {MCN}.\)

Do đó \(\Delta BMP ∽ \Delta MCN.\)

b) Hai tam giác vuông BMP (vuông tại P) và BAC (vuông tại A) có \(\widehat{BMP} = \widehat{BCA}.\)

Do đó \(\Delta BMP ∽ \Delta BAC.\)

\(⇒\displaystyle\frac{PM}{AC}=\displaystyle\frac{BM}{BC} ⇒ \displaystyle\frac{PM}{8} = \displaystyle\frac{4}{10}\)

\(⇒ PM=3,2\ (cm).\)

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông BMP:

\(BP^2+PM^2=BM^2\)

\(⇒BP=\sqrt{4^2-(3,2)^2}=2,4\ (cm).\)

\(⇒ AP=AB-BP=3,6\ (cm).\)

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AMP:

\(AP^2+PM^2=AM^2\)

\(⇒AM = \sqrt {23,2} \ (cm).\)

\(\)

9.34. Trong hình 9.75, cho AH, HE, HF lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng:

a) \(\Delta AEH ∽ \Delta AHB;\)

b) \(\Delta AFH ∽ \Delta AHC;\)

c) \(\Delta AFE ∽ \Delta ABC.\)

Giải

a) Hai tam giác AEH (vuông tại E) và AHB (vuông tại H) có: góc A chung.

Do đó \(\Delta AEH ∽ \Delta AHB.\)

b) Hai tam giác AFH (vuông tại F) và AHC (vuông tại H) có: góc A chung.

Do đó \(\Delta AFH ∽ \Delta AHC.\)

c) Vì \(\Delta AEH ∽ \Delta AHB\) nên \(\displaystyle\frac{AE}{AH}=\displaystyle\frac{AH}{AB}\) \(⇒ AE=\displaystyle\frac{AH^{2}}{AB}\) (1)

Vì \(\Delta AFH ∽ \Delta AHC\) nên \(\displaystyle\frac{AF}{AH}=\displaystyle\frac{AH}{AC}\) \(⇒ AF=\displaystyle\frac{AH^{2}}{AC}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta AFE ∽ \Delta ABC.\)

\(\)

9.35. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh \(\Delta HBM ~ \Delta HAN.\)

Giải

Hai tam giác BAC và BHA có:

\(\widehat{B}\) chung; \(\widehat{A}=\widehat{H}.\)

Do đó \(\Delta BAC ∽ \Delta BHA.\)

\(⇒ \displaystyle\frac{BA}{BH}=\displaystyle\frac{AC}{HA}\) \(⇒ \displaystyle\frac{HB}{HA}=\displaystyle\frac{BA}{AC}\) (1)

Hai tam giác BAC và AHC có:

\(\widehat{C}\) chung; \(\widehat{A}=\widehat{H}.\)

Do đó \(\Delta BAC ∽ \Delta AHC.\)

Suy ra \(\widehat{HAC}=\widehat{ABC}\) (2)

Vì M, N là trung điểm của AB, AC nên \(\displaystyle\frac{BM}{BA}=\displaystyle\frac{1}{2};\) \(\displaystyle\frac{AN}{AC}=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

\(⇒ \displaystyle\frac{BM}{BA}=\displaystyle\frac{AN}{AC}\) \(⇒ \displaystyle\frac{BM}{AN}=\displaystyle\frac{BA}{AC}\) (3)

Từ (1), (3) suy ra \(\displaystyle\frac{HB}{HA}=\displaystyle\frac{BM}{AN}.\)

Xét hai tam giác HBM và HAN có

\(\widehat{HAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ABH}\)

\(\displaystyle\frac{HB}{HA}=\displaystyle\frac{BM}{AN}\)

Do đó \(\Delta HBM ∽ \Delta HAN\) (c.g.c).

\(\)

9.36. Vào gần buổi trưa, khi bóng bạn An dài 60 cm thì bóng cột cờ dài 3 m.

a) Biết rằng bạn An cao 1,4 m. Hỏi cột cờ cao bao nhiêu mét?

b) Vào buổi chiều khi bóng bạn An dài 3m, hỏi bóng cột cờ dài bao nhiêu mét?

Giải

a) Gọi x là độ cao của cột đèn, có: \(\displaystyle\frac{0,6}{3}=\displaystyle\frac{1,4}{x}.\)