Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trang \(80\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Quan sát Hình \(30\) (hai cột của biển báo, mặt đường), cho biết hình đó gợi nên tính chất nào về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Trả lời:

Hình \(30\) gợi nên tính chất:

Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

\(\)

Bài \(2\). Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \((ABC)\).
\(a)\) Xác định hình chiếu của các đường thẳng \(SA, SB, SC\) trên mặt phẳng \((ABC)\).
\(b)\) Giả sử \(BC \perp SA, CA \perp SB\). Chứng minh rằng \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(AB \perp SC\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có:

\(H\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \((ABC)\)

\(+)\) \(A\) là hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \((ABC)\)

\(\Rightarrow HA\) là hình chiếu của \(SA\) trên mặt phẳng \((ABC)\)

\(+)\) \(B\) là hình chiếu của \(B\) trên mặt phẳng \((ABC)\)

\(\Rightarrow HB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \((ABC)\)

\(+)\) \(C\) là hình chiếu của \(C\) trên mặt phẳng \((ABC)\)

\(\Rightarrow HC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \((ABC)\)

\(b)\) Do \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \((ABC)\) nên \(SH \perp (ABC)\)

Suy ra \(SH \perp AB, SH \perp AC, SH \perp BC\)

Lại có \(BC \perp SA\)

\(\Rightarrow BC \perp (SAH)\)

Mà \(AH \subset (SAH)\) suy ra \(AH \perp BC\) \((1)\)

Mặt khác lại có \(CA \perp SB, CA \perp SH\)

\(\Rightarrow CA \perp (SBH)\)

Mà \(BH \subset (SBH)\) suy ra \(CA \perp BH\) \((2)\)

Từ \((1), (2)\) suy ra:

\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\)

\(\Rightarrow CH \perp AB\). Mà \(SH \perp AB\)

\(\Rightarrow AB \perp (SCH)\).

Suy ra \(AB \perp SC\)

\(\)

Bài \(3\). Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB \perp BCD\), các tam giác \(BCD\) và \(ACD\) là những tam giác nhọn. Gọi \(H, K\) lần lượt là trực tâm của các tam giác \(BCD, ACD\) (Hình \(31\)). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(CD \perp (ABH)\);
\(b)\) \(CD \perp (ABK)\);
\(c)\) Ba đường thẳng \(AK, BH, CD\) cùng đi qua một điểm.

Trả lời:

\(a)\) Vì \(AB \perp (BCD)\) nên \(AB \perp CD\) \((1)\)

Tam giác \(BCD\) là tam giác nhọn, có \(H\) là trực tâm nên \(BH \perp CD\) \((2)\)

Từ \((1), (2)\) suy ra:

\(CD \perp (ABH)\) (đpcm)

\(b)\) Do \(K\) là trực tâm của tam giác nhọn \(ACD\) nên \(AK \perp CD\) \((3)\)

Từ \((1), (3)\) suy ra:

\(CD \perp (ABK)\)

\(c)\) Từ \(a)\) và \(b)\) suy ra bốn điểm \(A, B, H, K\) đồng phẳng và \(CD \perp (ABHK)\)

Hay \(CD\) cắt mặt phẳng \((ABHK)\) tại một điểm duy nhất.

Vậy ba đường thẳng \(AK, BH, CD\) cùng đi qua một điểm.

\(\)

Bài \(4\). Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB \perp (BCD), BC \perp CD\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B\) trên \(AC\) và \(AD\). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(CD \perp BM\);
\(b)\) \(BM \perp MN\).

Trả lời:

\(a)\) Do \(AB \perp (BCD)\) nên \(AB \perp CD\)

Mà \(BC \perp CD\)

\(\Rightarrow CD \perp (ABC)\)

Mặt khác, \(BM \subset (ABC)\)

Suy ra \(CD \perp BM\) (đpcm)

\(b)\) Do \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) trên \(AC\) nên \(BM \perp AC\)

Lại có \(BM \perp CD\)

Suy ra \(BM \perp (ACD)\)

Mà \(MN \subset (ACD)\)

Vậy \(BM \perp MN\) (đpcm)

\(\)

Bài \(5\). Cho hình chóp \(O.ABC\) có \(\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COA} = 90^o\). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(BC \perp OA\);
\(b)\) \(CA \perp OB\);
\(c)\) \(AB \perp OC\).

Trả lời: