Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác

Chương 7 – Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác trang 56 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Tính độ dài x trong Hình 7.

Giải

a) Trong tam giác ABC, ta có AD là đường phân giác \(\widehat{A},\) suy ra \(\displaystyle\frac{DC}{DB}=\displaystyle\frac{AC}{AB}\) nên \(\displaystyle\frac{x}{2,4}=\displaystyle\frac{5}{3}.\)

Suy ra \(x=\displaystyle\frac{5.2,4}{3}=4.\)

b) Trong tam giác EFG, ta có EH là đường phân giác \(\widehat{E},\) suy ra \(\displaystyle\frac{HG}{HF}=\displaystyle\frac{EG}{EF}\) nên \(\displaystyle\frac{x}{20-x}=\displaystyle\frac{18}{12}.\)

Suy ra \(12x=18(20-x)\)

\(⇒12x=360-18x\)

\(⇒30x=360\)

\(⇒x=12.\)

c) Trong tam giác PQR, ta có RS là đường phân giác \(\widehat{R},\) suy ra \(\displaystyle\frac{SP}{SQ}=\displaystyle\frac{RP}{RQ}\) nên \(\displaystyle\frac{5}{6}=\displaystyle\frac{10}{x}.\)

Suy ra \(x=\displaystyle\frac{6.10}{5}=12.\)

\(\)

2. Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC.

b) Tính tỉ số diện tích giữa ∆ADB và ∆ADC.

Giải

a) Trong tam giác ABC, ta có AD là đường phân giác của \(\widehat{BAC},\) suy ra \(\displaystyle\frac{DB}{DC}=\displaystyle\frac{AB}{AC}=\displaystyle\frac{6}{8}=\displaystyle\frac{3}{4}.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{DB}{3}=\displaystyle\frac{DC}{4}=\displaystyle\frac{DB+DC}{3+4}=\displaystyle\frac{BC}{7}=\displaystyle\frac{10}{7}.\)

Do đó \(DB=\displaystyle\frac{3.10}{7}=\displaystyle\frac{30}{7};\) \(DC=\displaystyle\frac{4.10}{7}=\displaystyle\frac{40}{7}.\)

b) Kẻ AH là đường cao của tam giác ABC.

\(\displaystyle\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}.AH.DB}{\displaystyle\frac{1}{2}.AH.DC}=\displaystyle\frac{DB}{DC}\) \(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{30}{7}}{\displaystyle\frac{40}{7}}=\displaystyle\frac{30}{7}.\displaystyle\frac{7}{40}=\displaystyle\frac{3}{4}.\)

\(\)

3. Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D vẽ DE // AB (E ∈ AC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC và DE.

b) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính diện tích các tam giác ADB, ADE và DCE.

Giải

a) Trong tam giác ABC, ta có AD là đường phân giác \(\widehat{BAC},\) suy ra \(\displaystyle\frac{DB}{DC}=\displaystyle\frac{AB}{AC}=\displaystyle\frac{15}{20}=\displaystyle\frac{3}{4}.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{DB}{3}=\displaystyle\frac{DC}{4}=\displaystyle\frac{DB+DC}{3+4}=\displaystyle\frac{BC}{7}=\displaystyle\frac{25}{7}.\)

Do đó \(DB=\displaystyle\frac{3.25}{7}=\displaystyle\frac{75}{7};\) \(DC=\displaystyle\frac{4.25}{7}=\displaystyle\frac{100}{7}.\)

Xét tam giác ABC có DE // AB, theo hệ quả định lí Thales ta có:

\(\displaystyle\frac{DE}{AB}=\displaystyle\frac{DC}{BC}\) suy ra \(\displaystyle\frac{DE}{15}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{100}{7}}{25},\) vậy \(DE = \displaystyle\frac{60}{7}\) cm.

b) Xét tam giác ABC ta có:

\(25^2=15^2+20^2.\)

Do đó tam giác ABC vuông tại A.

\(S_{ABC}=\displaystyle\frac{1}{2}.AB.AC=\displaystyle\frac{1}{2}.15.20=150\ (cm^2)\)

c) Kẻ AH ⊥ BC ta có:

\(\displaystyle\frac{S_{ADB}}{S_{ABC}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}AH.BD}{\displaystyle\frac{1}{2}AH.BC}=\displaystyle\frac{BD}{BC}\) \(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{75}{7}}{25}=\displaystyle\frac{3}{7}.\)

Suy ra \(S_{ADB}=\displaystyle\frac{3}{7}.S_{ABC}=\displaystyle\frac{3}{7}.150=\displaystyle\frac{450}{7}\ (cm^{2}).\)

\(S_{ADC}=S_{ABC}-S_{ADB}=150-\displaystyle\frac{450}{7}=\displaystyle\frac{600}{7}.\)

Vì ED // AB nên \(\displaystyle\frac{EA}{EC}=\displaystyle\frac{DB}{DC}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{75}{7}}{\displaystyle\frac{100}{7}}=\displaystyle\frac{3}{4}.\)

\(\displaystyle\frac{S_{ADE}}{S_{DCE}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}EA.DE}{\displaystyle\frac{1}{2}EC.DE}=\displaystyle\frac{EA}{EC}=\displaystyle\frac{3}{4}.\)

Suy ra \(S_{ADE}=\displaystyle\frac{600}{7}.\displaystyle\frac{4}{7}=\displaystyle\frac{2400}{49};\) \(S_{DCE}=\displaystyle\frac{600}{7}.\displaystyle\frac{3}{7}=\displaystyle\frac{1800}{49}.\)

\(\)F

4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D.

a) Tính BC, DB, DC.

b) Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD.

Giải

a) Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

\(BC = \sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5.\)

Ta có AD là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\) trong tam giác ABC, suy ra:

\(\displaystyle\frac{DC}{DB}=\displaystyle\frac{AC}{AB}=\displaystyle\frac{6}{8}=\displaystyle\frac{4}{3}.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{DC}{4}=\displaystyle\frac{DB}{3}=\displaystyle\frac{DC+DB}{4+3}=\displaystyle\frac{BC}{7}=\displaystyle\frac{5}{7}.\)

Do đó \(DC=\displaystyle\frac{4.5}{7}=\displaystyle\frac{20}{7};\) \(DB=\displaystyle\frac{3.5}{7}=\displaystyle\frac{15}{7}.\)

b) Ta có \(S_{ABC}=\displaystyle\frac{1}{2}.AB.AC=\displaystyle\frac{1}{2}.AH.BC\)

\(AH=\displaystyle\frac{AB.AC}{BC}={3.4}{5}=\displaystyle\frac{12}{5}\) (cm).

Tam giác ABH vuông tại H nên ta có:

\(HB=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left(\displaystyle\frac{12}{5}\right)^{2}}=\displaystyle\frac{9}{5}\) (cm).

Ta có: \(HD=DB-HB=\displaystyle\frac{15}{7}-\displaystyle\frac{9}{5}=\displaystyle\frac{12}{35}\) (cm).

Tam giác ADH vuông tại H nên ta có:

\(AD=\sqrt{HD^{2}+AH^{2}}\) \(=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{12}{35}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{12}{5}\right)^2}=\displaystyle\frac{12\sqrt{2}}{7}\) (cm).

\(\)

5. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt AB tại D và đường phân giác của góc AMC cắt AC tại E (Hình 8). Chứng minh DE // BC.