Bài \(3\). Phương trình đường thẳng trang \(73\) SGK Toán \(10\) Tập \(2\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:
Bài \(1\). Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(\ – \ 1; 2)\) và
\(a)\) Có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (3; 2)\).
\(b)\) Có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (\ – \ 2; 3)\).
Trả lời:
\(a)\) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(\ – \ 1; 2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (3; 2)\) nên có phương trình tổng quát là:
\(3. (x \ – \ (\ – \ 1))+ 2. (y \ – \ 2) = 0\)
\(\Leftrightarrow 3x + 2y \ – \ 1 = 0\)
\(b)\) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(\ – \ 1; 2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (\ – \ 2; 3)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (3; 2)\).
Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta\) là:
\(3. (x \ – \ (\ – \ 1)) + 2. (y \ – \ 2)= 0\)
\(\Leftrightarrow 3x + 2y \ – \ 1 = 0\)
\(\)
Bài \(2\). Lập phương trình đường thẳng trong các Hình \(34, 35, 36, 37\) dưới đây:
Trả lời:
\(a)\) Quan sát Hình \(34\), ta thấy đường thẳng \(d_1\) đi qua hai điểm \(A(3; 0)\) và \(B(0; 4)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB} = (\ – \ 3; 4)\).
Do đó phương trình tham số của đường thẳng \(d_1\) là:
\(d_1: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} x = 3 \ – \ 3t\\y = 4t \end{array} \right.\end{equation}\) (\(t\) là tham số).
\(b)\) Quan sát Hình \(35\) ta thấy đường thẳng \(d_2\) đi qua điểm \(C(0; 1)\) và \(D(2; 4)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{CD} = (2; 3)\)
Do đó phương trình tham số của đường thẳng \(d_2\) là:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 2t\\y = 1 + 3t \end{array} \right. \end{equation}\) (\(t\) là tham số).
\(c)\) Quan sát Hình \(36\) ta thấy đường thẳng \(d_3\) song song với trục \(Oy\) và cắt trục \(Ox\) tại điểm \(E\left(\ – \ \displaystyle \frac{5}{2}; 0\right)\).
Do đó phương trình đường thẳng \(d_3\) là:
\(x = \ – \ \displaystyle \frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2x + 5 = 0\)
\(d)\) Quan sát Hình \(37\) ta thấy đường thẳng \(d_4\) song song với trục \(Ox\) và cắt trục \(Oy\) tại điểm \(G(0; 3)\).
Do đó phương trình đường thẳng \(d_4\) là:
\(y = 3\)
\(\Leftrightarrow y \ – \ 3 = 0\)
\(\)
Bài \(3\). Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số là \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = \ – \ 1 \ – \ 3t\\y = 2 + 2t. \end{array} \right. \end{equation}\)
\(a)\) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\).
\(b)\) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng \(d\) lần lượt với các trục \(Ox, Oy\).
\(c)\) Đường thẳng \(d\) có đi qua điểm \(M(\ – \ 7; 5)\) hay không?
Trả lời:
\(a)\) Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = \ – \ 1 \ – \ 3t\\y = 2 + 2t. \end{array} \right. \end{equation}\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (\ – \ 3; 2)\).
Suy ra \(d\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (2; 3)\)
Hơn nữa, ứng với \(t = 0\), đường thẳng \(d\) đi qua điểm \((\ – \ 1; 2)\)
vậy đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát là:
\(2. (x + 1) + 3. (y \ – \ 2) = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x + 3y \ – \ 4 = 0\).
\(b)\) Gọi \(H(a; 0), K (0; b)\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(d\) với trục \(Ox, Oy\)
\(H(a; 0)\) thuộc đường thẳng \(d\) nên toạ điểm \(H\) thoả mãn phương trình đường thẳng \(d\), ta có:
\(2. a + 3. 0 \ – \ 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow a = 2\)
Suy ra \(H(2; 0)\).
\(K(0; b)\) thuộc đường thẳng \(d\) nên toạ độ điểm \(K\) thoả mãn phương trình đường thẳng \(d\), ta có:
\(2. 0 + 3. b \ – \ 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow b = \displaystyle \frac{4}{3}\)
Suy ra \(K\left(0; \displaystyle \frac{4}{3}\right)\)
Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng \(d\) lần lượt với các trục \(Ox, Oy\) lần lượt là \(H(2; 0); K\left(0; \displaystyle \frac{4}{3}\right)\).
\(c)\) Thay toạ độ điểm \(M(\ – \ 7; 5)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta thấy:
\(2. (\ – \ 7) + 3. 5 \ – \ 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow \ – \ 3 = 0\) (vô lý)
Vậy đường thẳng \(d\) không đi qua điểm \(M(\ – \ 7; 5)\)
\(\)
Bài \(4\). Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát là \(x \ – \ 2y \ – \ 5 = 0\).
\(a)\) Lập phương trình tham số của đường thẳng \(d\).
\(b)\) Tìm toạ độ điểm \(M\) thuộc \(d\) sao cho \(OM = 5\) với \(O\) là gốc toạ độ.
\(c)\) Tìm toạ độ điểm \(N\) thuộc \(d\) sao cho khoảng cách từ \(N\) đến trục hoành \(Ox\) là \(3\).
Trả lời:
\(a)\) Đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát là: \(x – 2y – 5 = 0\) nên \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (1; \ – \ 2)\).
Suy ra \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (2; 1)\)
Với \(y = 0\), thay vào phương trình tổng quát của \(d\) ta được: \(x – 2 . 0 – 5 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 5\).
Do đó, điểm \(A(5; 0)\) thuộc đường thẳng \(d\).
Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 5 + 2t\\y = t \end{array} \right.\end{equation}\) (\(t\) là tham số)
\(b)\) Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\) nên ta có toạ độ điểm \(M(5 + 2t; t)\)
Khi đó \(\overrightarrow{OM} = (5 + 2t; t)\)
\(\Rightarrow OM = |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{(5 + 2t)^2 + t^2}\)
Có \(OM = 5\)
\(\Rightarrow \sqrt{(5 + 2t)^2 + t^2} = 5\)
\(\Rightarrow (5 + 2t)^2 + t^2 = 25\)
\(\Rightarrow 5t^2 + 20t = 0\)
\(\Rightarrow t^2 + 4t = 0\)
\(\Rightarrow t. (t + 4) = 0\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}t = 0\\t = \ – \ 4 \end{array} \right. \end{equation}\)
Với \(t = 0\) thì điểm \(M\) có toạ độ \(M(5; 0)\)
Với \(t = \ – \ 4\) thì điểm \(M\) có toạ độ \(M(\ – \ 3; \ – \ 4)\)
Vậy \(M(5; 0)\) hoặc \(M(\ – \ 3; \ – \ 4)\).
\(c)\) Điểm \(N\) thuộc đường thẳng \(d\) nên toạ độ điểm \(N\) là \(N(5 + 2t; t)\)
Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(N\) trên trục hoành \(Ox\).
Khi đó toạ độ điểm \(H\) là \(H(5 + 2t; 0)\)
Khoảng cách từ điểm \(N\) đến trục hoành \(Ox\) là \(3\) nên \(NH = 3\)
Lại có: \(\overrightarrow{NH} = (0; \ – \ t)\)
\(\Rightarrow NH = |\overrightarrow{NH}| = \sqrt{t^2} = |t|\)
Do đó: \(NH = 3\)
\(\Leftrightarrow |t| = 3\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} t = \ – \ 3 \\t = 3 \end{array} \right. \end{equation}\)
Với \(t = \ – \ 3\) suy ra \(N(\ – \ 1; \ – \ 3)\)
Với \(t = 3\) suy ra \(N(11; 3)\)
Vậy \(N(\ – \ 1; \ – \ 3)\) hoặc \(N(11; 3)\) thoả mãn.
\(\)
Bài \(5\). Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(1; 3), B(\ – \ 1; \ – \ 1), C(5; \ – \ 3)\). Lập phương trình tổng quát của:
\(a)\) Ba đường thẳng \(AB, BC, AC\);
\(b)\) Đường trung trực cạnh \(AB\);
\(c)\) Đường cao \(AH\) và đường trung tuyến \(AM\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (\ – \ 2; \ – \ 4)\)
Đường thẳng \(AB\) nhận vectơ \(\overrightarrow{AB}\) làm vectơ chỉ phương nên \(AB\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{AB}} = (4; \ – \ 2)\)
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là:
\(4. (x \ – \ 1) \ – \ 2. (y \ – \ 3) = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x \ – \ y + 1 = 0\)
Ta có: \(\overrightarrow{BC} = (6; \ – \ 2)\)
Đường thẳng \(BC\) nhận vectơ \(\overrightarrow{BC}\) làm vectơ chỉ phương nên \(BC\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_{BC}} = (2; 6)\)
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) là:
\(2. (x \ – \ 5) + 6. (y + 3) = 0\)
\(\Leftrightarrow x + 3y + 4 = 0\)
Ta có: \(\overrightarrow{AC} = (4; \ – \ 6)\)
Đường thẳng \(AC\) nhận vectơ \(\overrightarrow{AC}\) làm vectơ chỉ phương nên \(AC\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_{AC}} = (6; 4)\)
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(AC\) là:
\(6. (x \ – \ 1) + 4. (y \ – \ 3) = 0\)
\(\Leftrightarrow 3x + 2y \ – \ 9 = 0\)
\(b)\) Gọi \(N\) là trung điểm cạnh \(AB\)
Khi đó ta có toạ độ điểm \(N\) thoả mãn:
\(x_N = \displaystyle \frac{x_A + x_B}{2} = \displaystyle \frac{1 + (\ – \ 1)}{2} = 0\)
\(y_N = \displaystyle \frac{y_A + y_B}{2} = \displaystyle \frac{3 + (\ – \ 1)}{2} = 1\)
\(\Rightarrow N(0; 1)\)
Đường trung trực của cạnh \(AB\) nên nhận vectơ \(\overrightarrow{AB}\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt khác đường trung trực đi qua điểm \(N(0; 1)\)
Vậy phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh \(AB\) là:
\((\ – \ 2). x \ – \ 4. (y \ – \ 1) = 0\)
\(\Leftrightarrow x + 2y \ – \ 2 = 0\)
\(c)\) \(+)\) Đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\) đi qua điểm \(A\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{BC}\) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) là:
\(6. (x \ – \ 1) \ – \ 2. (y \ – \ 3) = 0\)
\(\Leftrightarrow 3x \ – \ y= 0\)
\(+)\) \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(M\) là trung điểm của \(BC\)
Khi đó, toạ độ điểm \(M\) thoả mãn:
\(x_M = \displaystyle \frac{x_B + x_C}{2} = \displaystyle \frac{\ – \ 1 + 5}{2} = 2\)
\(y_M = \displaystyle \frac{y_B + y_C}{2} = \displaystyle \frac{(\ – \ 1) + (\ – \ 3)}{2} = \ – \ 2\)
\(\Rightarrow M(2; \ – \ 2)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM} = (1; \ – \ 5)\)
Đường trung tuyến \(AM\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AM}\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{AM}} = (5; 1)\)
Vậy phương trình tổng quát của đường trung tuyến \(AM\) là:
\(5. (x \ – \ 2) + 1. (y + 2) = 0\)
\(\Leftrightarrow 5x + y \ – \ 8 = 0\)
\(\)
Bài \(6\). Để tham gia một phòng tập thể dục, người tập phải trả một khoản phí tham gia ban đầu và phí sử dụng phòng tập. Đường thẳng \(\Delta\) ở Hình \(38\) biểu thị tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) tham gia một phòng tập thể dục theo thời gian tập của một người (đơn vị: tháng).
\(a)\) Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta\).
\(b)\) Giao điểm của đường thẳng \(\Delta\) với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa gì?
\(c)\) Tính tổng chi phí mà người đó phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian \(12\) tháng.
Trả lời:
\(a)\) Quan sát Hình \(38\), ta thấy đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm \(A(0; 1,5)\) và \(B(7; 5)\)
Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (7; 3,5)\)
Do đó đường thẳng \(\Delta\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = \displaystyle \frac{2}{7}. \overrightarrow{AB} = \displaystyle \frac{2}{7}. (7; 3,5) = (2; 1)\)
Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 7 + 2t\\y = 5 + t \end{array} \right. \end{equation}\)
\(b)\) Giao điểm của đường thẳng \(\Delta\) với trục tung là điểm \(A(0; 1,5)\)
Giao điểm của đường thẳng \(\Delta\) với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa là:
Khoản phí tham gia ban đầu mà người tập phải trả là \(1,5\) triệu đồng.
\(c)\) Người đó tham gia phòng tập thể dục với thời gian là \(12\) tháng hay chính là \(x = 12\).
Khi đó, tổng chi phí cần tìm chính là giá trị \(y\) tương ứng với \(x = 12\).
Thay \(x = 12\) vào phương trình tham số của \(\Delta\) ta được:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}12 = 7 + 2t\\y = 5 + t \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}t = \displaystyle \frac{5}{2}\\y = \displaystyle \frac{15}{2} \end{array} \right. \end{equation}\)
Suy ra ứng với \(x = 12\) tháng thì \(y = \displaystyle \frac{15}{2} = 7,5\) triệu đồng.
Vậy tổng chi phí mà người đó phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian \(12\) tháng là \(7,5\) triệu đồng.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 2 – Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Xem bài giải tiếp theo: Bài 4 – Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.