Bài 4. Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài \(4\). Tổng và hiệu của hai vectơ trang \(83\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Cho ba điểm \(M, N, P\). Vectơ \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{MN}\) bằng vectơ nào sau đây?
\(A.\) \(\overrightarrow{PN}\).
\(B.\) \(\overrightarrow{PM}\).
\(C.\) \(\overrightarrow{MP}\).
\(D.\) \(\overrightarrow{NM}\).

Trả lời:

Với ba điểm \(M, N, P\) bất kì ta có:

\(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}\)

Chọn đáp án \(C\)

\(\)

Bài \(2\). Cho ba điểm \(D, E, G\). Vectơ \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{DE} + (\ – \ \overrightarrow{DG})\) bằng vectơ nào sau đây?
\(A.\) \(\overrightarrow{EG}\).
\(B.\) \(\overrightarrow{GE}\).
\(C.\) \(\overrightarrow{GD}\).
\(D.\) \(\overrightarrow{ED}\).

Trả lời:

Với ba điểm \(D, E, G\) bất kì ta có:

\( \overrightarrow{v} = \overrightarrow{DE} + (\ – \ \overrightarrow{DG}) = \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{GD}\)

\(= \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{GE}\)

Chọn đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(3\). Cho bốn điểm \(A, B, C, D\). Chứng minh:
\(a)\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}\).

Trả lời:

\(a)\) Với bốn điểm \(A, B, C, D\) bất kì, ta có:

\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}\)

Suy ra: \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = ( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) + \overrightarrow{CD}\)

\(= \overrightarrow{AD} + ( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB}) = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\)

Vậy \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\) (đpcm)

\(b)\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA}\)

\(= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA})\)

\(= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}\)

Vậy \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(4\). Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Các khẳng định sau đúng hay sai?
\(a)\) \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AC}|\);
\(b)\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CB}\);
\(c)\) \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}\).

Trả lời:

\(a)\) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\)

Suy ra \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AC}|\)

Vậy khẳng định \(a)\) đúng.

\(b)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AD}\)

Mà \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\) (Do \(ABCD\) là hình bình hành)

Suy ra \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \ – \ \overrightarrow{CB}\)

Vậy khẳng định \(b)\) sai.

\(c)\) \(ABCD\) là hình bình hành có \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) nên \(O\) đồng thời là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}, \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BO}\)

Suy ra \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CB} = \ – \ \overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BC}\)

Do đó \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \ – \ (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})\)

Vậy khẳng định \(c)\) sai.

\(\)

Bài \(5\). Cho đường tròn tâm \(O\). Giả sử \(A, B\) là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\) đối nhau.

Trả lời:

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\) đối nhau là chúng có cùng độ dài và ngược hướng.

Ta có: \(A, B\) nằm trên đường tròn tâm \(O\) nên \(OA, OB\) là bán kính đường tròn tâm \(O\)

Do đó \(OA = OB\)

Suy ra \(|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}|\)

Cần xét thêm điều kiện hai vectơ \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\) ngược hướng, tức là chúng cùng phương và ngược chiều.

Mặt khác, giá của vectơ \(\overrightarrow{OA}\) là đường thẳng \(OA\), giá của vectơ \(\overrightarrow{OB}\) là đường thẳng \(OB\)

Do đó, \(OA // OB\) hoặc \(OA \equiv OB\)

Lại có \(OA, OB\) có chung giao điểm \(O\) nên không xảy ra trường hợp \(OA // OB\)

Vậy hai đường thẳng \(OA\) và \(OB\) trùng nhau hay \(3\) điểm \(A, O, B\) thẳng hàng tức là \(AB\) là đường kính đường tròn tâm \(O\).

Vậy điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\) đối nhau là \(AB\) là đường kính đường tròn tâm \(O\).

\(\)

Bài \(6\). Cho \(ABCD\) là hình bình hành. Chứng minh \(\overrightarrow{MB} \ – \ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MC} \ – \ \overrightarrow{MD}\) với mọi điểm \(M\) trong mặt phẳng.

Trả lời:

Ta có: \(\overrightarrow{MB} \ – \ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + (\ – \ \overrightarrow{MA})\)

\(= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}\) \((1)\)

Lại có: \(\overrightarrow{MC} \ – \ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MC} + (\ – \ \overrightarrow{MD})\)

\(= \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DM} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{DC}\) \((2)\)

Mà \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) \((3)\)

Từ \((1), (2), (3)\) suy ra:

\(\overrightarrow{MB} \ – \ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MC} \ – \ \overrightarrow{MD}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(7\). Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh \(a\). Tính độ dài của các vectơ sau:
\(a)\) \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AD}\);
\(c)\) \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\) với \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Trả lời:

\(a)\) Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ABD\) ta có:

\(BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\)

Suy ra \(BD = a\sqrt{2}\)

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}\)

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC}\)

\(= \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB}\)

Suy ra \(|\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}| = |\overrightarrow{DB}| = DB = a\sqrt{2}\)

Vậy \(|\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}| = a\sqrt{2}\)

\(b)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + (\ – \ \overrightarrow{AD})\)

\(= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB}\)

Suy ra \(|\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{DB}| = DB = a\sqrt{2}\)

Vậy \(|\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AD}| = a\sqrt{2}\)

\(c)\) \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của hình vuông \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Suy ra \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}\)

Từ đó ta có: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CB}\)

Suy ra \(|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{CB}| = CB = a\)

Vậy \(|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| = a\)

\(\)

Bài \(8\). Cho ba lực \(\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{OC}\) cùng tác động vào một vật tại điểm \(O\) và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}\) đều là \(120 N\) và \(\widehat{AOB} = 120^o\). Tìm cường độ và hướng của lực \(\overrightarrow{F_3}\).

Trả lời:

Vì ba lực \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}\) cùng tác động vào vật và vật đứng yên nên ta có:

\(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow F_3 = \ – \ (\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2})\) \((1)\)

Ta đi tính \(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}\)

Ta có: \(|\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F_2}| = 120 N\)

Dựng hình bình hành \(OADB\) có \(\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OB}, \widehat{AOB} = 120^o\)

\(\Rightarrow OA = OB = 120\)

Suy ra tứ giác \(OADB\) là hình thoi.

Gọi \(E\) là giao điểm hai đường chéo \(AB\) và \(OD\) của hình thoi \(OADB\) nên \(O\) là trung điểm của mỗi đường.

Khi đó, đường chéo \(OD\) đồng thời là phân giác của góc \(AOB\)

\(\Rightarrow \widehat{AOD} = 60^o\)

Tam giác \(AOD\) có \(OA = AD\) và góc \(\widehat{AOD} = 60^o\) nên tam giác \(AOD\) là tam giác đều.

\(\Rightarrow OA = OD = 120\)

\(OADB\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}\) \((2)\)

Từ \((1), (2)\) suy ra:

\(\overrightarrow{F_3} = \ – \ (\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}) = \ – \ \overrightarrow{OD}\)

Vậy lực \(\overrightarrow{F_3}\) có hướng ngược hướng của vectơ \(\overrightarrow{OD}\) và có độ lớn \(|\overrightarrow{F_3}| = |\overrightarrow{OD}| = 120N\)

\(\)

Bài \(9\). Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là \(10 km/h\). Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc \(40 km/h\) so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Trả lời: