Bài \(1\). Giá trị lượng giác của một góc từ \(0^o\) đến \(180^o\). Định lí côsin và định lí sin trong tam giác trang \(62\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
Bài \(1\). Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3,5; AC = 7,5; \widehat{A} = 135^o\). Tính độ dài cạnh \(BC\) và bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Trả lời:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 \ – \ 2. AB. AC.\cos{A} \)
\(= 3,5^2 + 7,5^2 \ – \ 2. 3,5. 7,5. \cos{135^o} \approx 31,4\)
\(\Rightarrow BC \approx 5,6\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\displaystyle \frac{BC}{\sin{A}} = 2R\)
\(\Rightarrow R = \displaystyle \frac{BC}{2\sin{A}} = \displaystyle \frac{5,6}{2. \sin{135^o}} \approx 4\)
Vậy \(R \approx 4, BC \approx 5,6\)
\(\)
Bài \(2\). Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B}= 75^o, \widehat{C} = 45^o, BC = 50\). Tính độ dài cạnh \(AB\).
Trả lời:
Tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B} = 75^o, \widehat{C} = 45^o\)
Suy ra \(\widehat{A} = 180^o \ – \ (\widehat{B} + \widehat{C})\)
\( = 180^o \ – \ (75^o + 45^o) = 60^o\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\displaystyle \frac{AB}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{BC}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow AB = \displaystyle \frac{BC \sin{C}}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{50 \sin{45^o}}{\sin{60^o}}\)
\(= \displaystyle \frac{50 \sqrt{6}}{3}\)
Vậy \(AB = \displaystyle \frac{50\sqrt{6}}{3}\)
\(\)
Bài \(3\). Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 6, AC = 7, BC = 8\). Tính \(\cos{A}, \sin{A}\) và bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Trả lời:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 \ – \ 2. AB. AC. \cos{A}\)
\(\Rightarrow \cos{A} = \displaystyle \frac{AC^2 + AB^2 \ – \ BC^2}{2. AB. AC} = \displaystyle \frac{7^2 + 6^2 \ – \ 8^2}{2. 7. 6} = \displaystyle \frac{1}{4}\)
Mặt khác, \(\sin^2{A} + \cos^2{A} = 1\)
\(\Rightarrow \sin{A} = \sqrt{1 \ – \ \cos^2{A}}\) (Do \(0^o < A \leq 90^o\))
\(\Rightarrow \sin{A} = \sqrt{1 \ – \ \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^2} = \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\displaystyle \frac{BC}{\sin{A}} = 2R\)
\(\Rightarrow R = \displaystyle \frac{BC}{2\sin{A}} = \displaystyle \frac{8}{2\frac{\sqrt{15}}{4}} = \displaystyle \frac{16\sqrt{15}}{15}\)
Vậy \(\cos{A} = \displaystyle \frac{1}{4}; \sin{A} = \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}; R = \displaystyle \frac{16\sqrt{15}}{15}\).
\(\)
Bài \(4\). Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):
\(a)\) \(A = \cos{0^o} + \cos{40^o} + \cos{120^o} + \cos{140^o}\);
\(b)\) \(B = \sin{5^o} + \sin{150^o} \ – \ \sin{175^o} + \sin{180^o}\);
\(c)\) \(C = \cos{15^o} + \cos{35^o} \ – \ \sin{75^o} \ – \ \sin{55^o}\);
\(d)\) \(D = \tan{25^o}. \tan{45^o}. \tan{115^o}\);
\(e)\) \(E = \cot{10^o}. \cot{30^o}. \cot{100^o}\).
Trả lời:
\(a)\) \(A = \cos{0^o} + \cos{40^o} + \cos{120^o} + \cos{140^o}\)
\(=1 + \cos{40^o} + \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\right) + (\ – \ cos{(180^o \ – \ 40^o)})\)
\( = \displaystyle \frac{1}{2} + \cos{40^o} \ – \ cos{40^o}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(b)\) \(B = \sin{5^o} + \sin{150^o} \ – \ \sin{175^o} + \sin{180^o}\)
\(= \sin{5^o} + \displaystyle \frac{1}{2} \ – \ \sin{(180^o \ – \ 5^o)} + 0\)
\(= \sin{5^o} + \displaystyle \frac{1}{2} \ – \ \sin{5^o}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}\).
\(c)\) \(C = \cos{15^o} + \cos{35^o} \ – \ \sin{75^o} \ – \ \sin{55^o}\)
Ta có: \(\sin{75^o} = \cos{(90^o \ – \ 75^o)} = \cos{15^o}\)
\(\sin{55^o} = \cos{(90^o \ – \ 55^o)} = \cos{35^o}\)
\(\Rightarrow C = \cos{15^o} + \cos{35^o} \ – \ \cos{15^o} \ – \ \cos{35^o}\)
\(= 0\)
\(d)\) \(D = \tan{25^o}. \tan{45^o}. \tan{115^o}\)
\(= \tan{(90^o \ – \ 65^o)}. \tan{45^o}. \tan{(180^o\ – \ 65^o)}\)
\(= \cot{65^o} . \tan{45^o} . (\ – \ \tan{65^o})\)
\(= \ – \ \cot{65^o}. \tan{65^o}. \tan{45^o} = \ – \ 1. 1 = \ – \ 1\)
\(e)\) \(E = \cot{10^o}. \cot{30^o}. \cot{100^o}\)
\(= \cot{(90^o \ – \ 80^o)}. \cot{30^o}. \cot{(180^o \ – \ 80^o)}\)
\(= \tan{80^o}. \cot{30^o}. (\ – \ \cot{80^o})\)
\(= \ – \ (\tan{80^o}. \cot{80^o}). \cot{30^o}\)
\(= (\ – \ 1). \sqrt{3} = \ – \ \sqrt{3}\)
\(\)
Bài \(5\). Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh:
\(a)\) \(\sin{\displaystyle \frac{A}{2}} = \cos{\displaystyle \frac{B + C}{2}}\);
\(b)\) \(\tan{\displaystyle \frac{B + C}{2}} = \cot{\displaystyle \frac{A}{2}}\).
Trả lời:
Xét tam giác \(ABC\) có:
\(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\)
\(\Rightarrow \displaystyle \frac{\widehat{A}}{2} + \displaystyle \frac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2} = 90^o\)
Hay hai góc \(\displaystyle \frac{\widehat{A}}{2}\) và \(\displaystyle \frac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2}\) phụ nhau.
\(a)\) \(\sin{\displaystyle \frac{A}{2}} = \cos{\left(90^o \ – \ \displaystyle \frac{A}{2}\right)} = \cos{\displaystyle \frac{B + C}{2}}\)
\(b)\) \(\tan{\displaystyle \frac{B + C}{2}} = \cot{\left(90^o \ – \ \displaystyle \frac{B + C}{2}\right)}\)
\(= \cot{\displaystyle \frac{A}{2}}\)
\(\)
Bài \(6\). Để đo khoảng cách từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) và tiến hành đo các góc \(BAC, BCA\). Biết \(AC = 15 m, \widehat{BAC} = 59,95^o, \widehat{BCA} = 82,15^o\) (Hình \(16\)). Hỏi khoảng cách từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Trả lời:
Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat{BAC} = 59,95^o, \widehat{BCA} = 82,15^o\)
\(\Rightarrow \widehat{ABC} = 180^o \ – \ (59,95^o + 82,15^o) = 37,9^o\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\displaystyle \frac{AB}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{B}}\)
\(\Rightarrow AB = \displaystyle \frac{AC. \sin{C}}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{25. \sin{82,15^o}{\sin{37,9^o}}\)
\(\approx 40\)
Vậy khoảng cách từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) là \(40\)m.
\(\)
Bài \(7\). Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến \(A\) và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với nhau góc \(75^o\). Tàu thứ nhất chạy với tốc độ \(8\) hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ \(12\) hải lí một giờ. Sau \(2,5\) giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Trả lời:
Gọi \(B, C\) lần lượt là vị trí của tàu \(1, 2\) sau \(2,5\) giờ.
Quãng đường tàu thứ nhất đi được sau \(2,5\) giờ là:
\(AB = 8. 2,5 = 20\) (hải lí)
Quãng đường tàu thứ hai đi được sau \(2,5\) giờ là:
\(AC = 12. 2,5 = 30\) (hải lí)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 \ – \ 2. AB. AC. \cos{A}\)
\(\Rightarrow BC^2 = 20^2 + 30^2 \ – \ 2. 20. 30. \cos{75^o}\)
\(\Rightarrow BC^2 \approx 989,4\)
\(\Rightarrow BC \approx 31,5\)
Vậy sau \(2,5\) giờ thì hai tàu cách nhau \(31,5\) hải lí.
\(\)
Bài \(8\). Bạn \(A\) đứng ở nóc của toà nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn \(A\) tới chiếc diều và phương nằm ngang) là \(\alpha = 35^o\); khoảng cách từ nóc toà nhà tới mắt bạn \(A\) là \(1,5\) m. Cùng lúc đó ở dưới chân toà nhà, bạn \(B\) cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là \(\beta = 75^o\), khoảng cách từ mặt đất tới mắt bạn \(B\) cũng là \(1,5\)m. Biết chiều cao của toà nhà là \(h = 20\)m (Hình \(17\)). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Trả lời:
Gọi \(O\) là vị trí của chiếc diều, \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên mặt đất.
\(C, D\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A, B\) trên \(OH\).
\(AM\) là khoảng cách từ nóc nhà tới mắt bạn \(A\)
\(BN\) là khoảng cách từ mặt đất tới mắt bạn \(B\)
Theo bài ra ta có:
\(AM = BN = 1,5\) m
\(\Rightarrow AB = CD = h = 20\)m.
Đặt \(OC = x\)
\(\Rightarrow OH = x + 20 + 1,5 = 21,5 + x\)
Xét tam giác \(OAC\) ta có:
\(\tan{\alpha} = \displaystyle \frac{OC}{AC}\)
\(\Rightarrow AC = \displaystyle \frac{OC}{\tan{\alpha}} = \displaystyle \frac{x}{\tan{35^o}}\)
Xét tam giác \(OBD\) có:
\(\tan{\beta} = \displaystyle \frac{OD}{BD}\)
\(\Rightarrow BD = \displaystyle \frac{OD}{\tan{\beta}} = \displaystyle \frac{x + 20}{\tan{75^o}}\)
Lại có \(AC = BD\)
\(\Rightarrow \displaystyle \frac{x}{\tan{35^o}} = \displaystyle \frac{x + 20}{\tan{75^o}}\)
\(\Rightarrow x. tan{75^o} = (x + 20). \tan{35^o}\)
\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{20. \tan{35^o}}{\tan{75^o} \ – \ \tan{35^o}} \approx 4,6\)
\(\Rightarrow OH = 21,5 + 4,6 = 26,1\) (m)
Vậy chiếc diều bay cao \(26,1\)m so với mặt đất.
Bài 1. Giá trị lượng giác Bài 1. Giá trị lượng giác Bài 1. Giá trị lượng giác Bài 1. Giá trị lượng giác
Xem bài giải trước: Bài tập cuối chương III
Xem bài giải tiếp theo: Bài 2 – Giải tam giác
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.