Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài \(5\). Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai trang \(56\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{2x^2 \ – \ 3x \ – \ 1} = \sqrt{2x + 3}\);
\(b)\) \(\sqrt{4x^2 \ – \ 6x \ – \ 6} = \sqrt{x^2 \ – \ 6}\);
\(c)\) \(\sqrt{x + 9} = 2x \ – \ 3\);
\(d)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 + 4x \ – \ 2} = 2 \ – \ x\).

Trả lời:

\(a)\) \(\sqrt{2x^2 \ – \ 3x \ – \ 1} = \sqrt{2x + 3}\) \((1)\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(2x^2 \ – \ 3x \ – \ 1 = 2x + 3\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 \ – \ 5x \ – \ 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{5 + \sqrt{57}}{4}\\x = \displaystyle \frac{5 \ – \ \sqrt{57}}{4} \end{array} \right.\end{equation}\)

Thử cả hai giá trị của \(x\) đều thoả mãn phương trình \((1)\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \displaystyle \frac{5 + \sqrt{57}}{4}\) và \(x = \displaystyle \frac{5 \ – \ \sqrt{57}}{4}\)

\(b)\) \(\sqrt{4x^2 \ – \ 6x \ – \ 6} = \sqrt{x^2 \ – \ 6}\) \((2)\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(4x^2 \ – \ 6x \ – \ 6 = x^2 \ – \ 6\)

\(\Leftrightarrow 4x^2 \ – \ 6x \ – \ 6 \ – \ x^2 + 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x^2 \ – \ 6x = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x(x \ – \ 2) = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = 0\\x = 2 \end{array} \right.\end{equation}\)

Thử lại cả hai giá trị của \(x\) đều không thoả mãn phương trình \((2)\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

\(c)\) \(\sqrt{x + 9} = 2x \ – \ 3\) \((3)\)

Trước hết ta giải bất phương trình \(2x \ – \ 3 \geq 0\)

\(\Leftrightarrow x \geq \displaystyle \frac{3}{2}\)

Bình phương hai vế của phương trình \((3)\) ta được:
\(x + 9 = (2x \ – \ 3)^2\)

\(\Leftrightarrow x + 9 = 4x^2 \ – \ 12x + 9\)

\(\Leftrightarrow 4x^2 \ – \ 13x = 0\)

\(\Leftrightarrow x(4x \ – \ 13) = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = 0\\x = \displaystyle \frac{13}{4} \end{array} \right.\end{equation}\)

Ta thấy chỉ có giá trị \(x = \displaystyle \frac{13}{4}\) thoả mãn \(x \geq \displaystyle \frac{3}{2}\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{13}{4}\)

\(d)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 + 4x \ – \ 2} = 2 \ – \ x\) \((4)\)

Trước hết ta giải bất phương trình \(2 \ – \ x \geq 0\)

\(\Leftrightarrow x \leq 2\)

Bình phương hai vế của phương trình \((4)\) ta được:

\(\ – \ x^2 + 4x \ – \ 2 = (2 \ – \ x)^2\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 \ – \ 8x + 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ 4x + 3 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = 3 \\x = 1 \end{array} \right.\end{equation}\)

Ta thấy chỉ có giá trị \(x = 1\) thoả mãn \(x \leq 2\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 1\)

\(\)

Bài \(2\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{2 \ – \ x} + 2x = 3\);
\(b)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 + 7x \ – \ 6} + x = 4\).

Trả lời:

\(a)\) \(\sqrt{2 \ – \ x} + 2x = 3\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2 \ – \ x} = 3 \ – \ 2x\) \((1)\)

Giải bất phương trình \(3 \ – \ 2x \geq 0\)

\(\Leftrightarrow x \leq \displaystyle \frac{3}{2}\)

Bình phương hai vế của \((1)\) ta được:

\(2 \ – \ x = 9 \ – \ 12x + 4x^2\)

\(\Leftrightarrow 4x^2 \ – \ 11x + 7 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = 1 \\x = \displaystyle \frac{7}{4} \end{array} \right. \end{equation}\)

Ta thấy \(x = 1\) thỏa mãn \(x \leq \displaystyle \frac{3}{2}\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 1\).

\(b)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 + 7x \ – \ 6} + x = 4\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{\ – \ x^2 + 7x \ – \ 6} = 4 \ – \ x\) \((2)\)

Giải bất phương trình \(4 \ – \ x \geq 0\)

\(\Leftrightarrow x \leq 4\)

Bình phương hai vế của \((2)\) ta được:

\(\ – \ x^2 + 7x \ – \ 6 = 16 \ – \ 8x + x^2\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 \ – \ 15x + 22 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = 2\\x = \displaystyle \frac{11}{2} \end{array} \right. \end{equation}\)

Ta thấy \(x = 2\) thỏa mãn \(x \leq \displaystyle \frac{11}{2}\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\)

\(\)

Bài \(3\). Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó \(1\)m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào mép trên bức tường (Hình \(33a\)). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm \(0,5\)m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc \(60^o\) (Hình \(33b\)). Hỏi bức tường cao bao nhiêu mét (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trả lời:

Gọi \(x\) mét là chiều cao của bức tường. (\(x > 0\))

Khi đó, chiều cao của thang là \(x + 1\) mét.

Theo hình \(33a)\), \(AC = x, AB = x + 1\)

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(BC = \sqrt{AB^2 \ – \ AC^2} = \sqrt{(x + 1)^2 \ – \ x^2}\)

\(= \sqrt{2x + 1}\) (m)

Quan sát Hình \(33b)\) ta có:

\(AC = x, EC = BC \ – \ 0,5 = \sqrt{2x + 1} \ – \ 0,5\)

Xét tam giác \(ACE\) vuông tại \(C\), có góc \(\widehat{AEC} = 60^o\) nên ta có:

\(\tan{60^o} = \displaystyle \frac{AC}{EC} = \displaystyle \frac{x}{\sqrt{2x + 1} \ – \ 0,5}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3} = \displaystyle \frac{x}{\sqrt{2x + 1} \ – \ 0,5}\)

\(\Leftrightarrow x = \sqrt{3}. (\sqrt{2x + 1} \ – \ 0,5)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3. (2x + 1)} = x + \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) \((1)\)

Bình phương hai vế của \((1)\) ta được:

\(3. (2x + 1) = \left(x + \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2 + (\sqrt{3} \ – \ 6)x \ – \ \displaystyle \frac{9}{4} = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x \approx \ – \ 0,5 \\x \approx 4,7 \end{array} \right. \end{equation}\)

Do \(x > 0\) nên \(x \approx 4,7\) thỏa mãn

Vậy bức tường cao khoảng \(4,7\)m.

\(\)

Bài \(4\). Một người đứng ở điểm \(A\) trên một bờ sông rộng \(300\)m, chèo thuyền đến vị trí \(D\), sau đó chạy bộ đến vị trí \(B\) cách \(C\) một khoảng \(800\)m (Hình \(34\)). Vận tốc chèo thuyền là \(6\) km/h, vận tốc chạy bộ là \(10\) km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách từ vị trí \(C\) đến \(D\), biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ \(A\) đến \(B\) (qua \(D\) là \(7,2\) phút.

Trả lời:

Đổi \(300 m = 0,3 km; 800 m = 0,8 km; 7,2\) phút = \(0,12\) giờ

Gọi \(x\) (km) là khoảng cách từ \(C\) đến \(D\) (\(x > 0\))

Khi đó \(AC = 0,3 km, CD = x km, BC = 0,8 km\)

\(DB = BC \ – \ CD = 0,8 \ – \ x\) (km)

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ACD\) ta có:

\(AD^2 = AC^2 + CD^2 = 0,3^2 + x^2 = 0,09 + x^2\)

\(\Rightarrow AD = \sqrt{0,09 + x^2}\) (km)

Khoảng cách từ \(A\) đến \(D\) là \(\sqrt{0,09 + x^2} km\), mà vận tốc chèo thuyền là \(6 km/h\) và vận tốc dòng nước không đáng kể nên thời gian người đó chèo thuyền từ vị trí \(A\) đến vị trí \(D\) là:

\(t_1 = \displaystyle \frac{\sqrt{0,09 + t^2}}{6}\) (giờ)

Quãng đường từ \(D\) đến \(B\) là \(0,8 \ – \ x (km)\) và vận tốc chạy bộ là \(10 km/h\) nên thời gian người đó chạy bộ từ vị trí \(D\) đến vị trí \(B\) là:

\(t_2 = \displaystyle \frac{0,8 \ – \ x}{10}\) (giờ)

Tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ là:

\(t_1 + t_2 = t = 0,12\) (giờ)

Khi đó ta có phương trình:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{0,09 + t^2}}{6} + \displaystyle \frac{0,8 \ – \ x}{10} = 0,12\)

\(\Leftrightarrow 5\sqrt{0,09 + x^2} + 2,4 \ – \ 3x = 3,6\)

\(\Leftrightarrow 5\sqrt{0,09 + x^2} = 1,2 + 3x\) \((1)\)

Bình phương cả hai vế của \((1)\) ta được:

\(25 (0,09 + x^2) = (1,2 + 3x)^2\)

\(\Leftrightarrow 16x^2 \ – \ 7,2x + 0,81 = 0\)

\(\Leftrightarrow x = 0,225\) (thoả mãn \(x > 0\))

Suy ra \(x = 0,225 km = 225m\)

Vậy khoảng cách từ vị trí \(C\) đến \(D\) là \(225 m\)

\(\)

Bài \(5\). Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí \(A\) cách bờ biển một khoảng cách \(AB = 4 km\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí \(C\) cách \(B\) một khoảng là \(7\) km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ \(A\) đến vị trí \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(3 km/h\) rồi đi bộ đến \(C\) với vận tốc \(5 km/h\) (Hình \(35\)). Tính khoảng cách từ vị trí \(B\) đến \(M\), biết thời gian người đó đi từ \(A\) đến \(C\) (qua \(M\)) là \(148\) phút.