Bài 4. Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài \(4\). Bất phương trình bậc hai một ẩn trang \(49\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn? Vì sao?
\(a)\) \(\ – \ 2x + 2 < 0\);
\(b)\) \(\displaystyle \frac{1}{2} y^2 \ – \ \sqrt{2} (y + 1) \leq 0\);
\(c)\) \(y^2 + x^2 \ – \ 2x \geq 0\).

Trả lời:

\(a)\) Bất phương trình \(\ – \ 2x + 2 < 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

\(b)\) \(\displaystyle \frac{1}{2} y^2 \ – \ \sqrt{2} (y + 1) \leq 0\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}y^2 \ – \ \sqrt{2} y \ – \ \sqrt{2} = 0\)

Đây là bất phương trình bậc hai một ẩn \(y\).

\(c)\) Bất phương trình \(y^2 + x^2 \ – \ 2x \geq 0\) không là bất phương trình bậc hai một ẩn do có hai ẩn \(x, y\)

\(\)

Bài \(2\). Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x)\) trong mỗi Hình \(30a, 30b, 30c\), hãy viết tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau: \(f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) \geq 0, f(x) \leq 0\).

Trả lời:

\(a)\) Quan sát đồ thị Hình \(30a)\) ta thấy:

\(f(x) > 0\) biểu diễn phần parabol \(y = f(x)\) nằm phía trên trục hoành khi \(x < 1\) hoặc \(x > 4\)

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) > 0\) là \((\ – \ \infty; 1) \cup (4; +\infty)\).

Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) \geq 0\) là \((\ – \ \infty; 1] \cup [4; +\infty)\).

\(f(x) < 0\) biểu diễn phần parabol \(y = f(x)\) nằm phía dưới trục hoành, khi \(1 < x < 4\)

Do đó tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) < 0\) là \((1; 4)\)

Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) \leq 0\) là \([1; 4]\).

\(b)\) Quan sát đồ thị Hình \(30b)\) ta thấy:

\(f(x) > 0\) biểu diễn phần parabol \(y = f(x)\) nằm phía trên trục hoành, khi \(x \neq 2\)

Do đó tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) > 0\) là \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) \geq 0\) là \(\mathbb{R}\).

Do phần đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên bất phương trình \(f(x) < 0\) vô nghiệm.

Nghiệm của bất phương trình \(f(x) \leq 0\) là \(x = 2\)

\(c)\) Quan sát đồ thị Hình \(30c)\) ta thấy:

Phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành. Do đó \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) > 0\) là \(x \in \mathbb{R}\)

Các bất phương trình \(f(x) < 0, f(x) \geq 0, f(x) \leq 0\) vô nghiệm.

\(\)

Bài \(3\). Giải các bất phương trình bậc hai sau:
\(a)\) \(2x^2 \ – \ 5x + 3 > 0\);
\(b)\) \(\ – \ x^2 \ – \ 2x + 8 \leq 0\);
\(c)\) \(4x^2 \ – \ 12x + 9 < 0\);
\(d)\) \(\ – \ 3x^2 + 7x \ – \ 4 \geq 0\).

Trả lời:

\(a)\) \(2x^2 \ – \ 5x + 3 > 0\)

Tam thức bậc hai \(2x^2 \ – \ 5x + 3\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 1, x_2 = \displaystyle \frac{3}{2}\) và có hệ số \(a = 2 > 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức bậc hai \(2x^2 \ – \ 5x + 3\) mang dấu \(“+”\) là \(x < 1\) hoặc \(x > \displaystyle \frac{3}{2}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \((\ – \ \infty; 1) \cup \left(\displaystyle \frac{3}{2}; +\infty\right)\).

\(b)\) \(\ – \ x^2 \ – \ 2x + 8 \leq 0\)

Tam thức bậc hai \(\ – \ x^2 \ – \ 2x + 8\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \ – \ 4, x_2 = 2\) và có hệ số \(a = \ – \ 1 < 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức bậc hai \(2x^2 \ – \ 5x + 3\) không mang dấu \(“+”\) là \(x \leq \ – \ 4\) hoặc \(x \geq 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \((\ – \ \infty; \ – \ 4] \cup [2; +\infty)\).

\(c)\) \(4x^2 \ – \ 12x + 9 < 0\)

Tam thức bậc hai \(4x^2 \ – \ 12x + 9\) có \(\Delta = (\ – \ 12)^2 \ – \ 4. 4. 9 = 0\) nên có nghiệm kép \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\).

Lại có hệ số \(a = 4 > 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có \(4x^2 \ – \ 12x + 9 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle \frac{3}{2}\right\}\) và \(4x^2 \ – \ 12x + 9 = 0\) khi \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\).

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

\(d)\) \(\ – \ 3x^2 + 7x \ – \ 4 \geq 0\)

Tam thức bậc hai \(\ – \ 3x^2 + 7x \ – \ 4\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 1, x_2 = \displaystyle \frac{4}{3}\) và có hệ số \(a = \ – \ 3 < 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức bậc hai \(2x^2 \ – \ 5x + 3\) không âm khi \(1 \leq x \leq \displaystyle \frac{4}{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left[1; \displaystyle \frac{4}{3}\right]\).

\(\)

Bài \(4\). Tìm \(m\) để phương trình \(2x^2 + (m + 1)x + m \ – \ 8 = 0\) có nghiệm.

Trả lời:

Phương trình \(2x^2 + (m + 1)x + m \ – \ 8 = 0\) là phương trình bậc hai ẩn \(x\), tham số \(m\).

Ta có: \(a = 2, b = m + 1, c = m \ – \ 8\)

\(\Delta = (m + 1)^2 \ – \ 4. 2. (m \ – \ 8) = m^2 \ – \ 6m + 65\)

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \geq 0\)

\(\Leftrightarrow m^2 \ – \ 6m + 65 \geq 0\). Đây là bất phương trình bậc hai ẩn \(m\).

Tam thức bậc hai \(m^2 \ – \ 6m + 65\) có \(\Delta = (\ – \ 6)^2 \ – \ 4. 1. 65 = \ – \ 224 < 0\) và hệ số \(a = 1 > 0\)

Suy ra tam thức \(m^2 \ – \ 6m + 65\) luôn mang dấu \(“+”\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\)

Do đó, \(m^2 \ – \ 6m + 65 > 0\) với mọi số thực \(m\)

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị thực của \(m\)

\(\)

Bài \(5\). Xét hệ tọa độ \(Oth\) trên mặt phẳng, trong đó trục \(Ot\) biểu thị thời gian \(t\) (tính bằng giây) và trục \(Oh\) biểu thị độ cao \(h\) (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm \(A (0; 0,2)\) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt được độ cao \(8,5m\) sau \(1\) giây và đạt độ cao \(6m\) sau \(2\) giây.
\(a)\) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng.
\(b)\) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất?

Trả lời:

\(a)\) Giả sử hàm số có dạng:

\(h = at^2 + bt + c\). Trong đó \(h\) là độ cao, \(t\) là thời gian, \(a, b, c\) là các hằng số cần tìm, \(a \neq 0\).

Quỹ đạo của quả bóng là parabol đi qua điểm \(A(0; 0,2)\) nên tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn phương trình parabol, ta có:

\(c = 0,2\)

Khi đó \(h = at^2 + bt + 0,2\)

Quả bóng đạt độ cao \(8,5\)m sau \(1\) giây và \(6\)m sau \(2\) giây, do đó quỹ đạo của quả bóng là parabol đi qua các điểm có tọa độ \((1; 8,5)\) và \((2; 6)\). Ta có hệ sau:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a + b + 0,2 = 8,5\\a. 2^2 + b. 2 + 0,2 = 6 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = \ – \ 5,4\\b = 13,7 \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là:

\(y = \ – \ 5,4t^2 + 13,7t + 0,2\)

\(b)\) Bóng chưa chạm đất khi độ cao \(h > 0\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 5,4t^2 + 13,7t + 0,2 > 0\)

Tam thức bậc hai \(\ – \ 5,4t^2 + 13,7t + 0,2\) có hai nghiệm phân biệt \(t_1 = \displaystyle \frac{137}{108} \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{19201}}{108}, t_2 = \displaystyle \frac{137}{108} + \displaystyle \frac{\sqrt{19201}}{108}\)

Lại có hệ số \(a = \ – \ 5,4 < 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có: \(\ – \ 5,4t^2 + 13,7t + 0,2 > 0\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{137}{108} \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{19201}}{108} < t < \displaystyle \frac{137}{108} + \displaystyle \frac{\sqrt{19201}}{108}\)

Mà thời gian \(t > 0\) nên:

\(0 < t < \displaystyle \frac{137}{108} + \displaystyle \frac{\sqrt{19201}}{108} \approx 2,55\)

Vậy trong khoảng thời gian từ lúc bắt đầu đá đến \(2,55\) giây thì quả bóng chưa chạm đất.

\(\)

Bài \(6\). Công ty An Bình thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:
\(10\) khách đầu tiên có giá là \(800000\) đồng/người. Nếu có nhiều hơn \(10\) người đăng kí thì cứ có thêm \(1\) người, giá vé sẽ giảm \(10000\) đồng/người cho toàn bộ hành khách.
\(a)\) Gọi \(x\) là số lượng khách từ người thứ \(11\) trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo \(x\).
\(b)\) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là \(700000\) đồng/người.

Trả lời:

\(a)\) \(x\) là số lượng khách từ người thứ \(11\) trở lên của nhóm \(x \in \mathbb{N^*}\)

Khi đó tổng số khách là \(10 + x\) (người)

Nếu có nhiều hơn \(10\) người đăng kí thì cứ có thêm \(1\) người, giá vé sẽ giảm \(10000\) đồng/người cho toàn bộ hành khách nên giá tiền mỗi vé khi chuyến đi có \(10 + x\) hành khách là:

\(800000 \ – \ 10000x\) (đồng)

Doanh thu của công ty là:

\(y = (10 + x) (800000 \ – \ 10000x\)

\(\Leftrightarrow y = \ – \ 10000x^2 + 700000x + 8000000\)

Vậy doanh thu của công ty biểu thị theo \(x\) là:

\(y = \ – \ 10000x^2 + 700000x + 8000000\)

\(b)\) Chi phí thực sự cho chuyến đi là \(700000\) đồng/người nên tổng chi phí thực tế cho \(10 + x\) người tham gia là \(700000(10 + x)\) (đồng)

Để công ty không bị lỗ thì doanh thu phải lớn hơn hoặc bằng tổng chi phí thực tế:

\(y \geq 700000(10 + x)\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 10000x^2 + 700000x + 8000000 \geq 700000(10 + x)\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 10000x^2 + 1000000 \geq 0\)

\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ 100 \geq 0\) \((*)\)