Bài 1. Hàm số và đồ thị

Bài \(1\). Hàm số và đồ thị trang \(31\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
\(a)\) \(y = \ – \ x^2\);
\(b)\) \(y = \sqrt{2 \ – \ 3x}\);
\(c)\) \(y = \displaystyle \frac{4}{x + 1}\);
\(d)\) \(y = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}1 \text{ nếu } x \in \mathbb{Q}\\ 0 \text{ nếu } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{array} \right.\end{equation}\).

Trả lời:

\(a)\) \(y = \ – \ x^2\)

Biểu thức \(\ – \ x^2\) có nghĩa với mọi số thực \(x\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

\(b)\) \(y = \sqrt{2 \ – \ 3x}\)

Biểu thức \(\sqrt{2 \ – \ 3x}\) có nghĩa khi \(2 \ – \ 3x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \displaystyle \frac{2}{3}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \{x \in \mathbb{R}|x \leq \displaystyle \frac{2}{3}\} = \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{2}{3}\right]\)

\(c)\) \(y = \displaystyle \frac{4}{x + 1}\)

Biểu thức \(\displaystyle \frac{4}{x + 1}\) có nghĩa khi \(x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \ – \ 1\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{\ – \ 1\}\)

\(d)\) \(y = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}1 \text{ nếu } x \in \mathbb{Q}\\ 0 \text{ nếu } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{array} \right.\end{equation}\).

Hàm số có nghĩa khi \(x \in \mathbb{Q}\) và \(x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Mà \(\mathbb{Q} \cup \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \mathbb{R}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

\(\)

Bài \(2\). Bảng \(1\) dưới đây cho biết chỉ số \(PM_{2,5}\) (bụi mịn) ở Thành phố Hà Nội từ tháng \(1\) đến tháng \(12\) của năm \(2019\).

\(a)\) Nêu chỉ số \(PM_{2,5}\) trong tháng \(2\), tháng \(5\), tháng \(10\).
\(b)\) Chỉ số \(PM_{2,5}\) có phải hàm số của tháng không? Tại sao?
\(c)\) Bụi mịn \(PM_{2,5}\) có đường kính nhỏ hơn \(2,5\mu m\) (mi-crô-mét) dễ dàng xâm nhập vào cơ thể con người thông qua đường hô hấp và gây nên một số bệnh nguy hiểm như đột quỵ, tim mạch… Em hãy nêu một số biện pháp bảo vệ bản thân trước bụi mịn.

Trả lời:

\(a)\) Chỉ số \(PM_{2,5}\) trong tháng \(2\) là \(36,0 \mu g/m^3\), trong tháng \(5\) là \(45,8 \mu g/m^3\), trong tháng \(10\) là \(43,2 \mu g/m^3\).

\(b)\) Chỉ số \(PM_{2,5}\) là hàm số của tháng vì mỗi tháng tương ứng duy nhất một giá trị của chỉ số \(PM_{2,5}\).

\(c)\) Một số biện pháp bảo vệ bản thân trước bụi mịn:

Luôn sử dụng khẩu trang khi đi ra ngoài.

Luôn dọn dẹp vệ sinh nơi ở sạch sẽ.

Tạo thói quen sinh hoạt lành mạnh: ăn uống lành mạnh, đầy đủ dinh dưỡng, thường xuyên vận động nâng cao sức khỏe, tránh tiếp xúc môi trường bụi bẩn…

\(\)

Bài \(3\). Theo Quyết định số \(2019/QĐ-BĐVN\) ngày \(01/11/2018\) của Tổng Công ty Bưu điện Việt Nam, giá cước dịch vụ Bưu chính phổ cập đối với dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp trong nước có khối lượng đến \(250\) g như trong bảng sau:

\(a)\) Số tiền dịch vụ phải trả thư cơ bản \(y\) (đồng) có là hàm số của khối lượng thư cơ bản \(x\) (g) hay không? Nếu đúng, hãy xác định những công thức tính \(y\).
\(b)\) Tính số tiền phải trả khi bạn Dương gửi thư có khối lượng \(150 g\), \(200g\) (không kể phụ phí và thuế VAT\).

Trả lời:

\(a)\) Số tiền dịch vụ phải trả thư cơ bản \(y\) (đồng) là hàm số của khối lượng thư cơ bản \(x\) (g) vì ứng với mỗi giá trị của \(x\) chỉ có duy nhất giá trị của \(y\) tương ứng.

Với \(0 < x \leq 20\) thì \(y = 4000\)

Với \(20 < x \leq 100\) thì \(y = 6000\)

Với \(100 < x \leq 250\) thì \(y = 8000\).

Vậy ta có công thức xác định \(y\) là:

\(y = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}4000 \text{ nếu } 0 < x \leq 20\\6000 \text{ nếu } 20 < x \leq 100\\8000 \text{ nếu } 100 < x \leq 250 \end{array} \right. \end{equation}\).

\(b)\) Do \(100 < 150 < 250\) nên số tiền bạn Dương phải trả khi gửi thư có khối lượng \(150\)g là: \(8000\) đồng.

Do \(100 < 200 < 250\) nên số tiền bạn Dương phải trả khi gửi thư có khối lượng \(200\)g là: \(8000\) đồng.

\(\)

Bài \(4\). Cho hàm số \(y = \ – \ 2x^2\).
\(a)\) Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt bằng \(\ – \ 2; 3\) và \(10\).
\(b)\) Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng \(\ – \ 18\).

Trả lời:

\(a)\) Điểm có hoành độ \(x = \ – \ 2\) thì tung độ \(y = \ – \ 2. (\ – \ 2)^2 = \ – \ 8\).

\(\Rightarrow (\ – \ 2; \ – \ 8)\)

Điểm có hoành độ \(x = 3\) thì có tung độ \(y = \ – \ 2. 3^2 = \ – \ 18\)

\(\Rightarrow (3; \ – \ 18)\).

Điểm có hoành độ \(x = 10\) thì có tung độ \(y = \ – \ 2. 10^2 = \ – \ 200\)

\(\Rightarrow (10; \ – \ 200)\).

\(b)\) Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng \(\ – \ 18\) nên ta có:

\(y = \ – \ 2x^2 = \ – \ 18\)

\(\Leftrightarrow x^2 = 9\)

\(\Leftrightarrow x = \pm 3\)

Vậy các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng \(\ – \ 18\) là \((3; \ – \ 18)\) và \((\ – \ 3; \ – \ 18)\)

\(\)

Bài \(5\). Cho đồ thị hàm số \(y = f(x)\) như Hình \(8\).

\(a)\) Trong các điểm có tọa độ \((1; \ – \ 2), (0; 0), (2; \ – \ 1)\), điểm nào thuộc đồ thị hàm số? Điểm nào không thuộc đồ thị hàm số.
\(b)\) Xác định \(f(0); f(3)\).
\(c)\) Tìm điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng \(0\).

Trả lời:

\(a)\) Biểu diễn các điểm \((1; \ – \ 2), (0; 0), (2; \ – \ 1)\) lên mặt phẳng tọa độ Hình \(8\) ta được:

Quan sát hình ta thấy:

Điểm \(O(0; 0)\) không thuộc đồ thị hàm số.

Điểm \(A(1; \ – \ 2)\) và \(B(2; \ – \ 1)\) thuộc đồ thị hàm số.

\(b)\) Ta có \(f(0)\) là giá trị của hàm số tại \(x = 0\). Mà tại \(x = 0\) thì \(y = \ – \ 1\) nên \(f(0) = \ -\ 1\)

Tương tự \(f(3) = 0\)

\(c)\) Điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng \(0\) tức là \(y = 0\) là điểm có tọa độ \((3; 0)\) và \((\ – \ 1; 0)\)

\(\)

Bài \(6\). Cho hàm số \(y = \displaystyle \frac{1}{x}\). Chứng tỏ hàm số đã cho:
\(a)\) Nghịch biến trên khoảng \((0; +\infty)\);
\(b)\) Nghịch biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 0)\).

Trả lời:

\(y = \displaystyle \frac{1}{x}\)

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)

\(a)\) Lấy hai giá trị \(x_1, x_2\) bất kì thuộc khoảng \((0; +\infty)\) sao cho \(0 < x_1 < x_2\).

Khi đó: \(\displaystyle \frac{x_1} > \displaystyle \frac{1}{x_2}\) hay \(f(x_1) > f(x_2)\)

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0; +\infty)\)

\(b)\) Lấy hai giá trị \(x_1, x_2\) bất kì thuộc khoảng \((\ – \ \infty; 0)\) sao cho \(x_1 < x_2 < 0\)

Khi đó: \(\displaystyle \frac{1}{x_1} > \displaystyle \frac{1}{x_2}\) hay \(f(x_1) > f(x_2)\)

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 0)\)

\(\)

Bài \(7\). Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như Hình \(9\). Chỉ ra khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số \(y = f(x)\).

Trả lời:

Quan sát đồ thị hàm số ở Hình \(9\) ta thấy:

Đồ thị hàm số đi lên (từ trái qua phải) trong các khoảng \((\ – \ 3; \ – \ 1)\) và \((\ – \ 1; 0)\) nên hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \((\ – \ 3; \ – \ 1)\) và \((\ – \ 1; 0)\).

Đồ thị hàm số đi xuống (từ trái qua phải) trong khoảng \((0; 2)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; 2)\).

\(\)

Bài \(8\). Một lớp muốn thuê một chiếc xe khách cho chuyến tham quan với tổng đoạn đường cần di chuyển trong khoảng từ \(550\)km đến \(600\) km, có hai công ty được tiếp cận để tham khảo giá.
Công ty \(A\) có giá khởi đầu là \(3,75\) triệu đồng cộng thêm \(5000\) đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe. Công ty \(B\) có giá khởi đầu là \(2,55\) triệu đồng cộng thêm \(7500\) đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe. Lớp đó nên chọn Công ty nào để chi phí là thấp nhất?

Trả lời:

\(3,75\) triệu đồng = \(3750000\) đồng

\(2,5\) triệu đồng = \(2500000\) đồng.

Gọi \(x\) (km) là tổng đoạn đường cần di chuyển của lớp, \(550 \leq x \leq 600\)

Gọi \(y\) (đồng) là số tiền lớp phải trả để thuê xe.

Nếu chọn công ty \(A\), số tiền cần phải trả được biểu diễn theo hàm số:

\(y_A = 3750000 + 5000x\)

Nếu chọn công ty \(B\), số tiền cần phải trả được biểu diễn theo hàm số:

\(y_B = 2500000 + 7500x\)

Với \(550 \leq x \leq 600\), ta đi so sánh \(y_A\) và \(y_B\) để chọn ra công ty mà chi phí thấp nhất.

Ta có: \(y_A = 3750000 + 5000x \)

\(= (2500000 + 5000x) + 1250000\)

\(y_B = 2500000 + 7500x\)

\(= (2500000 + 5000x) + 2500x\)

Vì \(550 \leq x \leq 600\) nên:

\(2500. 550 \leq 2500x \leq 2500. 600\)

\(\Leftrightarrow 1375000 \leq 2500x \leq 1500000\)

Mà \(1250000 < 1375000\) nên:

\((2500000 + 5000x) + 1250000 < (2500000\)

\(+ 5000x) + 2500x\)

Hay \(y_A < y_B\) khi \( 550 \leq x \leq 600\)

Vậy để chi phí là thấp nhất thì lớp đó nên chọn thuê xe của công ty \(A\).

Xem bài giải trước: Bài tập cuối chương II
Xem bài giải tiếp theo: Bài 2 – Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech