Chương 7 – Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên trang 83 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
52. Cho góc xOy và điểm B thuộc tia Ox, B ≠ O. Vẽ H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng Oy trong các trường hợp sau:
a) \(\widehat{xOy}\) là góc nhọn;
b) \(\widehat{xOy}\) là góc vuông;
c) \(\widehat{xOy}\) là góc tù.
Giải
a) \(\widehat{xOy}\) là góc nhọn
b) \(\widehat{xOy}\) là góc vuông
c) \(\widehat{xOy}\) là góc tù
\(\)
53. Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC, lấy điểm M nằm giữa A và H. Chứng minh:
a) BH = CH;
b) MB = MC;
c) MA < AC.
Giải
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Xét hai tam giác AHB và AHC có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\ (=90^o),\)
BA = AC (chứng minh trên),
AH là cạnh chung
Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).
Vậy BH = CH.
b) Vì ∆ABH = ∆ACH nên \(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\) (hai góc tương ứng).
Xét hai tam giác AMB và AMC có:
BA = AC (chứng minh câu a);
\(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\) (do \(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\));
AM là cạnh chung.
Suy ra ∆ABM = ∆ACM (c.g.c).
Do đó BM = CM (hai cạnh tương ứng).
c) Vì \(\widehat{AMC}\) là góc ngoài của tam giác CMH tại đỉnh M
Nên \(\widehat{AMC}=\widehat{MHC}+\widehat{MCH}\)
Mà \(\widehat{MHC}=90^o\) nên \(\widehat{AMC}\) là góc tù
Xét tam giác AMC có \(\widehat{AMC}\) là góc tù
Nên MC < AC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).
Vậy MC < AC.
\(\)
54. Từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng d, vẽ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC tùy ý (Hình 40).
a) So sánh độ dài AH và AB, AH và AC.
b) Chứng minh: Nếu AB = AC thì HB = HC; ngược lại, nếu HB = HC thì AB = AC.
Giải
a) Ta có AH và AB lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Suy ra AH < AB.
Tương tự, AH và AC lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Suy ra AH < AC.
Vậy AH < AB và AH < AC.
b) Xét hai tam giác AHB và AHC có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\ (=90^o);\)
AB = AC (giả thiết);
AH là cạnh chung
Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác AHB và AHC có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\ (=90^o);\)
BH = CH (giả thiết);
AH là cạnh chung.
Do đó ∆ABH = ∆ACH (hai cạnh góc vuông).
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).
Vậy nếu AB = AC thì HB = HC; ngược lại, nếu HB = HC thì AB = AC.
\(\)
55. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC.
a) Vẽ E là hình chiếu của A trên đường thẳng BM.
b) Vẽ F là hình chiếu của C trên đường thẳng BM.
c) Chứng minh BE + BF > 2AB.
Giải
c) Xét hai tam giác MAE và MCF có:
\(\widehat{AEM}=\widehat{CFM}\ (=90^o);\)
MA = MC (vì M là trung điểm của AC);
\(\widehat{AME}=\widehat{CMF}\) (đối đỉnh)
Do đó ∆MAE = ∆MCF (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra ME = MF (hai cạnh tương ứng).
Ta có BA và BM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm B xuống đường thẳng AC
Suy ra AB < BM.
Hay AB < BE + EM (1) và AB < BF – MF (2)
Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:
AB + AB < BE + EM + BF – MF
Mà ME = MF
Do đó 2AB < BE + BF.
Vậy BE + BF > 2AB.
\(\)
56. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:
a) \(\widehat{ABM}=\widehat{CAN};\)
b) CN = MA;
c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.
Giải
a) Xét ∆MAB vuôg tại M có:
\(\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Ta có \(\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=180^o\)
Suy ra \(\widehat{MAB}+\widehat{CAN}=180^o-\widehat{BAC}=90^o\)
Lại có \(\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90^o\)
Suy ra \(\widehat{ABM}=\widehat{CAN}.\)
Vậy \(\widehat{ABM}=\widehat{CAN}.\)
b) Xét hai tam giác MAB và NCA có:
\(\widehat{BMA}=\widehat{ANC}\ (=90^o),\)
BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),
\(\widehat{ABM}=\widehat{CAN}\) (chứng minh câu a).
Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).
Vậy MA = NC.
c) Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}.\)
Lại có \(\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180^o\) (tổng ba góc của tam giác ABC)
Suy ra \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=180^o−90^o2=45^o.\)
Nếu a // BC thì \(\widehat{MAB}=\widehat{ABC}\) (so le trong).
Do đó \(\widehat{MAB}=45^o.\)
Xét ∆ABM có: \(widehat{AMB}+\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra \(\widehat{MBA}=180^o−\widehat{AMB}−\widehat{MAB}\) \(=180^o-90^o-45^o=45^o.\)
Do đó \widehat{MAB}=\widehat{MBA} (cùng bằng \(45^o\)).
Xét ∆AMB có \widehat{AMB}=90^o và \widehat{MAB}=\widehat{MBA} nên DAMB vuông cân tại M.
Suy ra MA = MB (1)
Nếu a // BC thì \(\widehat{CAN}=\widehat{ACB}=45^o\) (so le trong)
Xét ∆ABM có: \(\widehat{ACN}+\widehat{ANC}+\widehat{CAN}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra \(\widehat{ACN}=180^o-\widehat{ANC}-\widehat{CAN}\) \(=180^o-90^o-45^o=45^o.\)
Do đó \(\widehat{ACN}=\widehat{CAN}\) (cùng bằng \(45^o\)).
Xét ∆ANC có \(\widehat{ANC}=90^o\) và \(\widehat{ACN}=\widehat{CAN}\) nên ∆ANC vuông cân tại N.
Suy ra CN = AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.
Vậy MA = AN.
\(\)
57. Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh độ dài AD và DC.
Giải
Kẻ DH ⊥ BC.
Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}.\)
Xét hai tam giác vuông DAB và DHB có:
BD là cạnh chung,
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (chứng minh trên)
Do đó ∆DAB = ∆DHB (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng) (1)
Vì DDHC vuông tại H nên HD < DC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD < DC.
Vậy AD < DC.
\(\)
58. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), BD là tia phân giác của góc ABC (D ∈ AC). Qua C kẻ tia Cx vuông góc với AC cắt BD tại M.
a) Chứng minh tam giác CBM là tam giác cân.
b) So sánh độ dài CM và AC.
Giải
a) Vì ∆ABD vuông tại A nên \(\widehat{B_1}+\widehat{D_1}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\))
Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (do BD là tia phân giác của góc ABC) và \(\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\) (đối đỉnh).
Nên \(\widehat{B_2}+\widehat{D_2}=90^o.\)
Vì ∆CDM vuông tại C nên \(\widehat{M}+\widehat{D_2}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{M}=\widehat{B_2}.\)
Do đó tam giác CBM cân tại C.
Vậy tam giác CBM cân tại C.
b) Vì tam giác CBM cân tại C (chứng minh câu a)
Nên CM = BC.
Vì ∆ABC vuông tại A nên BC > AC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Suy ra CM > AC.
Vậy CM > AC.
\(\)
59. Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\) nhọn. H và K lần lượt là hình chiếu của B và C trên Ax (Hình 41). Chứng minh:
a) BH + CK ≤ BC.
b) Nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.
Giải
a) Vì ∆BHE vuông tại H nên BH ≤ BE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Vì ∆CKE vuông tại K nên CK ≤ CE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Suy ra BH + CK ≤ BE + CE = BC.
Vậy BH + CK ≤ BC.
b) Ta có BH + CK ≤ BC.
Do đó BH + CK lớn nhất khi BH + CK = BC
Điều này xảy ra khi và chỉ khi BH = BE, CK = CE.
Khi đó BH ≡ BE, CK ≡ CE
Do đó BE ⊥ Ax và CE ⊥ Ax
Hay BC ⊥ Ax.
Vậy nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 7: Tam giác cân
Xem bài giải tiếp theo: Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
