Bài tập cuối chương I

Bài tập cuối chương \(I\) trang \(41\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Hàm số \(y = \sin{x}\) đồng biến trên khoảng:
\(A\). \((0; \pi)\);
\(B\). \(\left(\ – \ \displaystyle \frac{3\pi}{2}; \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\);
\(C\). \(\left(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\);
\(D\). \((\ – \ \pi; 0)\).

Trả lời:

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \sin{x}\) ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\).

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(2\). Hàm số nghịch biến trên khoảng \((\pi; 2\pi)\) là:
\(A\). \(y = \sin{x}\);
\(B\). \(y = \cos{x}\).
\(C\). \(y = \tan{x}\).
\(D\). \(y = \cot{x}\).

Trả lời:

Quan sát đồ thị các hàm số \(y = \sin{x}, y = \cos{x}, y = \tan{x}, y = \cot{x}\) ta thấy hàm số \(y = \cot{x}\) nghịch biến trên khoảng \((\pi; 2\pi)\).

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(3\). Nếu \(tan{(a + b)} = 3, \tan{(a \ – \ b)} = \ – \ 3\) thì \(\tan{2a}\) bằng:
\(A\). \(0\);
\(B\). \(\displaystyle \frac{3}{5}\);
\(C\). \(1\);
\(D\). \(\ – \ \displaystyle \frac{3}{4}\).

Trả lời:

Ta có: \(\tan{2a} = \tan{[(a + b) + (a \ – \ b)]}\)

\(= \displaystyle \frac{\tan{(a + b)} + \tan{(a \ – \ b)}}{1 \ – \ \tan{(a + b)} \tan{(a \ – \ b)}}\)

\(= \displaystyle \frac{3 + (\ – \ 3)}{1 \ – \ 3. (\ – \ 3)} = 0\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(4\). Nếu \(\cos{a} = \displaystyle \frac{1}{4}\) thì \(\cos{2a}\) bằng:
\(A\). \(\displaystyle \frac{7}{8}\);
\(B\). \(\ – \ \displaystyle \frac{7}{8}\);
\(C\). \(\displaystyle \frac{15}{16}\);
\(D\). \(\ – \ \displaystyle \frac{15}{16}\).

Trả lời:

Ta có: \(\cos{2a} = 2\cos^2{a} \ – \ 1\)

\(= 2. \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^2 \ – \ 1 = \ – \ \displaystyle \frac{7}{8}\)

Chọn đáp án \(B\).

\(\)

Bài \(5\). Nếu \(\cos{a} = \displaystyle \frac{3}{5}\) và \(\cos{b} = \ – \ \displaystyle \frac{4}{5}\) thì \(\cos{(a + b)} \cos{(a \ – \ b)}\) bằng:
\(A\). \(0\);
\(B\). \(2\);
\(C\). \(4\);
\(D\). \(5\).

Trả lời:

Ta có: \(\cos{(a + b)} \cos{(a \ – \ b)}\)

\(= \displaystyle \frac{1}{2} [\cos{a + b + a \ – \ b} + \cos{a + b \ – \ a + b}]\)

\(= \displaystyle \frac{1}{2} [\cos{2a} + \cos{2b}]\).

Mặt khác:

\(\cos{2a} = 2\cos^2{a} \ – \ 1 = 2. \left(\displaystyle \frac{3}{5}\right)^2 \ – \ 1\)

\(= \ – \ \displaystyle \frac{7}{25}\).

\(\cos{2b} = 2\cos^2{b} \ – \ 1 = 2. \left(\ – \ \displaystyle \frac{4}{5}\right)^2 \ – \ 1 = \displaystyle \frac{7}{25}\)

Suy ra:

\(\cos{(a + b)} \cos{(a \ – \ b)} = \displaystyle \frac{1}{2} [\cos{2a} + \cos{2b}]\)

\(= \displaystyle \frac{1}{2}. \left(\ – \ \displaystyle \frac{7}{25} + \displaystyle \frac{7}{25}\right) = 0\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(6\). Nếu \(\sin{a} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}\) thì \(\sin{\left(a + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} + \sin{\left(a \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\) bằng:
\(A\). \(\displaystyle \frac{2}{3}\);
\(B\). \(\displaystyle \frac{1}{3}\);
\(C\). \(\ – \ \displaystyle \frac{2}{3}\);
\(D\). \(\ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\).

Trả lời:

Ta có: \(\sin{\left(a + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} + \sin{\left(a \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\)

\(= 2 \sin{\left(\displaystyle \frac{a + \frac{\pi}{4} + a \ – \ \frac{\pi}{4}}{2}\right)} \cos{\left(\displaystyle \frac{a + \frac{\pi}{4} \ – \ a + \frac{\pi}{4}}{2}\right)}\)

\(= 2 \sin{a} \cos{\displaystyle \frac{\pi}{4}} = 2 \left(\ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}\right). \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} = \ – \ \displaystyle \frac{2}{3}\).

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(7\). Số nghiệm của phương trình \(\cos{x} = 0\) trên đoạn \([0; 10\pi]\) là:
\(A\). \(5\);
\(B\). \(9\);
\(C\). \(10\);
\(D\). \(11\).

Trả lời:

Ta có: \(\cos{x} = 0\)

\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\)

Do \(x \in [0; 10\pi]\) nên ta có:

\(0 \leq \displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi \leq 10\pi\)

\(\Leftrightarrow \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} \leq k \leq \displaystyle \frac{19}{2}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{0; 1; 2; …; 8; 9\}\). Có \(10\) giá trị của \(x\).

Vậy phương trình \(\cos{x} = 0\) có \(10\) nghiệm trên đoạn \([0; 10\pi]\)

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(8\). Số nghiệm của phương trình \(\sin{x} = 0\) trên đoạn \([0; 10\pi]\) là:
\(A\). \(10\);
\(B\). \(6\);
\(C\). \(5\);
\(D\). \(11\).

Trả lời:

Ta có: \(\sin{x} = 0\)

\(\Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb{Z})\)

Do \(x \in [0; 10\pi]\) nên ta có \(0 \leq k\pi \leq 10\pi\)

\(\Leftrightarrow 0 \leq k \leq 10\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{0; 1; ; …; 10\}\). Có \(11\) giá trị của \(x\).

Vậy phương trình \(\sin{x} = 0\) có \(11\) nghiệm trên đoạn \([0; 10\pi]\)

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(9\). Phương trình \(\cot{x} = \ – \ 1\) có nghiệm là:
\(A\). \(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\);
\(B\). \(\displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\);
\(C\). \(\displaystyle \frac{\pi}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\);
\(D\). \(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Trả lời:

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(10\). Số nghiệm của phương trình \(\sin{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) trên đoạn \([0; \pi]\) là:
\(A\). \(4\);
\(B\). \(1\);
\(C\). \(2\);
\(D\). \(3\).

Trả lời:

Ta có: \(\sin{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \sin{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \sin{\displaystyle \frac{\pi}{4}}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x + \displaystyle \frac{\pi}{4} = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k2\pi\\x + \displaystyle \frac{\pi}{4} = \pi \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} + k2\pi \end{array} \right.\end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)

Kết hợp với điều kiện \(x \in [0; \pi]\) nên ta có hai nghiệm \(x = 0\) và \(x = \displaystyle \frac{\pi}{2}\)

Vậy phương trình \(\sin{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) có \(2\) nghiệm trên đoạn \([0; \pi]\)

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(11\). Vẽ đồ thị hàm số \(y = \cos{x}\) trên đoạn \(\left[\ – \ \displaystyle \frac{5\pi}{2}; \displaystyle \frac{5\pi}{2}\right]\) rồi xác định số nghiệm của phương trình \(3\cos{x} + 2 = 0\) trên đoạn đó.

Trả lời:

Đồ thị hàm số \(y = \cos{x}\) trên đoạn \(\left[\ – \ \displaystyle \frac{5\pi}{2}; \displaystyle \frac{5\pi}{2}\right]\) được vẽ như sau:

Xét phương trình: \(3\cos{x} + 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow \cos{x} = \ – \ \displaystyle \frac{2}{3}\)

Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số \(y = \cos{x}\) trên đoạn \(\left[\ – \ \displaystyle \frac{5\pi}{2}; \displaystyle \frac{5\pi}{2}\right]\) và đường thẳng \(y = \ – \ \displaystyle \frac{2}{3}\) cắt nhau tại \(4\) điểm.

Vậy phương trình \(3\cos{x} + 2 = 0\) có \(4\) nghiệm trên đoạn \(\left[\ – \ \displaystyle \frac{5\pi}{2}; \displaystyle \frac{5\pi}{2}\right]\).

\(\)

Bài \(12\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sin{\left(2x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(b)\) \(\cos{\left(\displaystyle \frac{3x}{2} + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \displaystyle \frac{1}{2}\);
\(c)\) \(\sin{3x} \ – \ \cos{5x} = 0\);
\(d)\) \(cos^2{x} = \displaystyle \frac{1}{4}\);
\(e)\) \(\sin{x} \ – \ \sqrt{3} \cos{x} = 0\);
\(g)\) \(\sin{x} + \cos{x} = 0\).

Trả lời:

\(a)\) \(\sin{\left(2x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \sin{\left(2x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} = \sin{\left(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}2x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6} = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi\\2x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6} = \pi + \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi \end{array} \right. \end{equation} (k \in \mathbb{Z})\).

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[ \begin{array}{II} 2x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6} + k2\pi\\2x = \displaystyle \frac{3\pi}{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[ \begin{array}{II} x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{12} + k\pi\\x = \displaystyle \frac{3\pi}{4} + k\pi \end{array} \right.\end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{12} + k\pi\) và \(x = \displaystyle \frac{3\pi}{4} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

\(b)\) \(\cos{\left(\displaystyle \frac{3x}{2} + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \cos{\left(\displaystyle \frac{3x}{2} + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \cos{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}\displaystyle \frac{3x}{2} + \displaystyle \frac{\pi}{4} = \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi\\\displaystyle \frac{3x}{2} + \displaystyle \frac{\pi}{4} = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi \end{array} \right. \end{equation} (k \in \mathbb{Z})\).

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{\pi}{18} + k \displaystyle \frac{4\pi}{3}\\x = \ – \ \displaystyle \frac{7\pi}{18} + k \displaystyle \frac{4\pi}{3} \end{array} \right. \end{equation} (k \in \mathbb{Z})\).

vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \displaystyle \frac{\pi}{18} + k \displaystyle \frac{4\pi}{3}\) và \(x = \ – \ \displaystyle \frac{7\pi}{18} + k \displaystyle \frac{4\pi}{3}\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

\(c)\) \(\sin{3x} \ – \ \cos{5x} = 0\)

\(\Leftrightarrow \sin{3x} = \cos{5x}\)

\(\Leftrightarrow \cos{5x} = \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ 3x\right)}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}5x = \displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ 3x + k2\pi \\5x = \ – \ \left(\displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ 3x\right) + k2\pi \end{array} \right.\end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}8x = \displaystyle \frac{\pi}{2} + k2\pi \\2x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{\pi}{16} + k\displaystyle \frac{\pi}{4} \\x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi \end{array} \right.\end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \displaystyle \frac{\pi}{16} + k\displaystyle \frac{\pi}{4}\) và \(x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

\(d)\) \(cos^2{x} = \displaystyle \frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II} \cos{x} = \displaystyle \frac{1}{2}\\\cos{x} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II} \cos{x} = \cos{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\\\cos{x} = \cos{\displaystyle \frac{2\pi}{3}} \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II} \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi\\ x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right.\end{equation}\\ \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} + k2\pi\\x = \ – \ \displaystyle \frac{2\pi}{3} + k2\pi \end{array} \right.\end{equation} \end{array} \right.\end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi\); \(x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi\); \(x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} + k2\pi\) và \(x = \ – \ \displaystyle \frac{2\pi}{3} + k2\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

\(e)\) \(\sin{x} \ – \ \sqrt{3} \cos{x} = 0\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2} \sin{x} \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \cos{x} = 0\)

\(\Leftrightarrow \cos{\displaystyle \frac{\pi}{4}} \sin{x} + \sin{\displaystyle \frac{\pi}{4}} \cos{x} = 0\)

\(\Leftrightarrow \sin{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = 0\)

\(\Leftrightarrow \sin{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \sin{0}\)

\(\Leftrightarrow x + \displaystyle \frac{\pi}{4} = k\pi, k \in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\).

\(g)\) \(\sin{x} + \cos{x} = 0\)

Với \(\cos{x} = 0\) thì \(\sin{x} = 1\) không thỏa mãn.

Suy ra \(\cos{x} \neq 0\). Khi đó phương trình đã cho trở thành:

\(\displaystyle \frac{\sin{x}}{\cos{x}} + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow \tan{x} + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow \tan{x} = \ – \ 1\)

\(\Leftrightarrow x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\).

\(\)

Bài \(13\). Hằng ngày mực nước của một con sông lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h (m)\) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\) (giờ) trong một ngày (\(0 \leq t < 243\)) cho bởi công thức \(h = 3 \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi t}{6} + 1\right)} + 12\). Tìm \(t\) để độ sâu của mực nước là:
\(a)\) \(15 m\);
\(b)\) \(9 m\);
\(c)\) \(10,5 m\).

Trả lời:

\(a)\) Độ sâu của mực nước là \(15 m\)

\(\Leftrightarrow h = 15\)

\(\Leftrightarrow 3\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi t}{6} + 1\right)} + 12 = 15\).

\(\Leftrightarrow \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi t}{6} + 1\right)} = 1\)

\(\Leftrightarrow \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi t}{6} + 1\right)} = \cos{0}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\pi t}{6} + 1 = k2\pi, k \in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow t = \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12k, k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(0 \leq t < 24\) nên \(0 \leq \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12k < 24\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2\pi} \leq k < 2 + \displaystyle \frac{1}{2\pi}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{1; 2\}\)

Với \(k = 1\) thì \(t = \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12. 1 \approx 10,09\) (giờ)

Với \(k = 2\) thì \(t = \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12. 2 \approx 22,09\) (giờ)

Vậy vào lúc \(10,09\) giờ và \(22,09\) giờ thì mực nước có độ sâu là \(15\)m.

\(b)\) Độ sâu của mực nước là \(9 m\)

\(\Leftrightarrow h = 9\)

\(\Leftrightarrow 3\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi t}{6} + 1\right)} + 12 = 9\).

\(\Leftrightarrow \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi t}{6} + 1\right)} = \ – \ 1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\pi t}{6} + 1 = \pi + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow t = 6 \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12k, k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(0 \leq t < 24\) nên \(0 \leq 6 \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12k < 24\)

\(\Leftrightarrow \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{1}{2\pi} \leq k < \displaystyle \frac{3}{2} + \displaystyle \frac{1}{2\pi}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{0; 1\}\)

Với \(k = 0\) thì \(t = 6 \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12. 0 \approx 4,09\) (giờ).

Với \(k = 1\) thì \(t = 6 \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12. 1 \approx 16,09\) (giờ).

Vậy vào lúc \(4,09\) giờ và \(16,09\) giờ thì mực nước có độ sâu \(9\)m.

\(c)\) Độ sâu của mực nước là \(10,5 m\)

\(\Leftrightarrow h = 10,5\)

\(\Leftrightarrow 3\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi t}{6} + 1\right)} + 12 = 10,5\).

\(\Leftrightarrow \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi t}{6} + 1\right)} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II} \displaystyle \frac{\pi t}{6} + 1 = \displaystyle \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ \displaystyle \frac{\pi t}{6} + 1 = \ – \ \displaystyle \frac{2\pi}{3} + k2\pi \end{array} \right. \end{equation} (k \in \mathbb{Z}) \)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II} t = 4 \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12k (1) \\t = \ – \ 4 \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12k (2) \end{array} \right.\end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)

\(+)\) Xét \((1)\):

Do \(0 \leq t < 24\) nên ta có:

\(0 \leq 4 \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12k < 24\)

\(\Leftrightarrow \ – \ \displaystyle \frac{1}{3} + \displaystyle \frac{1}{2\pi} \leq k < \displaystyle \frac{5}{3} + \displaystyle \frac{1}{2\pi}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{0; 1\}\)

Với \(k = 0\) thì \(t = 4 \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12. 0 \approx 2,09\) (giờ).

Với \(k = 1\) thì \(t = 4 \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12. 1 \approx 14,09\) (giờ).

\(+)\) Xét \((2)\):

Do \(0 \leq t < 24\) nên ta có:

\(0 \leq \ – \ 4 \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12k < 24\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{3} + \displaystyle \frac{1}{2\pi} \leq k < \displaystyle \frac{7}{3} + \displaystyle \frac{1}{2\pi}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{1; 2\}\)

Với \(k = 1\) thì \(t = \ – \ 4 \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12. 1 \approx 6,09\) (giờ)

Với \(k = 2\) thì \(t = \ – \ 4 \ – \ \displaystyle \frac{6}{\pi} + 12. 2 \approx 18,09\) (giờ)

Vậy vào lúc \(2,09\) giờ; \(6,09\) giờ; \(14,09\) giờ và \(18,09\) giờ thì mực nước có độ sâu là \(10,5\)m.

\(\)

Bài \(14\). Một cây cầu có dạng cung \(OA\) của đồ thị hàm số \(y = 4,8 \sin{\displaystyle \frac{x}{9}}\) và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở Hình \(40\).
\(a)\) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng \(OA\). Tìm chiều rộng đó (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
\(b)\) Một sà làn chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao \(3,6\) m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn \(13,1 m\).
\(c)\) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hóa đó là \(9 m\) sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn \(4,3 m\).

Trả lời:

\(a)\) Hai vị trí \(O\) và \(A\) tương ứng với \(y = 0\)

\(\Leftrightarrow 4,8 \sin{\displaystyle \frac{x}{9}} = 0\)

\(\Leftrightarrow \sin{\displaystyle \frac{x}{9}} = 0\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x}{9} = k\pi, k \in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x = 9k\pi, k \in \mathbb{Z}\)

Ta thấy, \(k = 0\) thì \(x(0) = 0\) tương ứng với điểm \(O\) trên đồ thị

\(k = 1\) thì \(x(1) = 9\pi\) tương ứng với điểm \(A\) trên đồ thị.

Suy ra \(OA = 9\pi \approx 28,3\)

Vậy chiều rộng con sông khoảng \(28,3 m\).

\(b)\) Sà lan có độ cao \(3,6 m\) so với mực nước sông nên khi sà làn đi qua được gầm cầu tương ứng với \(y = 3,6\)

\(\Leftrightarrow 4,8 \sin{\displaystyle \frac{x}{9}} = 3,6\)

\(\Leftrightarrow \sin{\displaystyle \frac{x}{9}} = \displaystyle \frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}\displaystyle \frac{x}{9} \approx 0,848 + k2\pi\\\displaystyle \frac{x}{9} \approx \pi \ – \ 0,848 + k2\pi \end{array} \right.\end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x \approx 7,632 + 18k\pi\\x \approx 9\pi \ – \ 7,632 + 18k\pi \end{array} \right.\end{equation} (k \in \mathbb{Z})\)

Xét \(k = 0\) có:

\(x_1 \approx 7,632\) tại vị trí điểm \(B\)

\(x_2 \approx 20,642\) tại vị trí điểm \(C\)

Khi đó, để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì khối hàng hóa có độ cao \(3,6 m\) phải có chiều rộng nhỏ hơn độ dài đoạn \(BC\).

Có \(BC = 20,642 \ – \ 7,632 = 13,01 < 13,1 m\)

Vậy chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn \(13,1 m\)

\(c)\) Giả sử sà lan chở khối hàng hóa được mô tả bởi hình \(MNPQ\) như hình dưới.

Khi đó \(PQ = 9, OA = 28,3\)

Suy ra \(OQ = AP = \displaystyle \frac{28,3 \ – \ 9}{2} = 9,65 m\)

Do đó, \(x_M = 9,65\)

\(\Rightarrow y_M = 4,8 \sin{\displaystyle \frac{x_M}{9}} = 4,8 \sin{\displaystyle \frac{9,65}{9}}\)

\(\approx 4,22 m < 4,3 m\)

Vậy để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì chiều cao của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn \(4,3 m\).

Bài tập cuối chương I Bài tập cuối chương I Bài tập cuối chương I Bài tập cuối chương I Bài tập cuối chương I Bài tập cuối chương I

Xem bài giải trước: Bài 4 – Phương trình lượng giác cơ bản
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Dãy số
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech