Bài \(3\). Hàm số lượng giác và đồ thị trang \(22\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của \(x\) trên đoạn \([\ – \ 2\pi; 2\pi]\) để:
\(a)\) Hàm số \(y = \sin{x}\) nhận giá trị bằng \(1\);
\(b)\) Hàm số \(y = \sin{x}\) nhận giá trị bằng \(0\);
\(c)\) Hàm số \(y = \cos{x}\) nhận giá trị bằng \(\ – \ 1\);
\(d)\) Hàm số \(y = \cos{x}\) nhận giá trị bằng \(0\).
Trả lời:
\(a)\) Đồ thị hàm số \(y = \sin{x}\):
Quan sát đồ thị hàm số \(y = \sin{x}\) trên đoạn \([\ – \ 2\pi; 2\pi]\) ta thấy hàm số \(y = \sin{x}\) nhận giá trị bằng \(1\) tại \(x \in \left\{\ – \ \displaystyle \frac{3\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2}\right\}\).
\(b)\) Đồ thị hàm số \(y = \sin{x}\):
Quan sát đồ thị hàm số \(y = \sin{x}\) trên đoạn \([\ – \ 2\pi, 2\pi]\) ta thấy hàm số \(y = \sin{x}\) nhận giá trị bằng \(0\) tại \(x \in \{\ – \ 2\pi; \ – \ \pi; 0; \pi; 2\pi\}\)
\(c)\) Đồ thị hàm số \(y = \cos{x}\):
Quan sát đồ thị hàm số \(y = \cos{x}\) trên đoạn \([\ – \ 2\pi; 2\pi]\) ta thấy hàm số \(y = \cos{x}\) nhận giá trị bằng \(0\) tại \(x \in [\ – \ \pi; \pi]\).
\(d)\) Đồ thị hàm số \(y = \cos{x}\):
Quan sát đồ thị hàm số \(y = \cos{x}\) trên đoạn \([\ – \ 2\pi; 2\pi]\) ta thấy hàm số \(y = \cos{x}\) nhận giá trị bằng \(\ – \ 1\) tại \(x \in \left\{\ – \ \displaystyle \frac{3\pi}{2}; \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{3\pi}{2}\right\}\).
\(\)
Bài \(2\). Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của \(x\) trên khoảng \(\left(\ – \ \pi; \displaystyle \frac{3\pi}{2}\right)\) để:
\(a)\) Hàm số \(y = \tan{x}\) nhận giá trị bằng \(\ – \ 1\);
\(b)\) Hàm số \(y = \tan{x}\) nhận giá trị bằng \(0\);
\(c)\) Hàm số \(y = \cot{x}\) nhận giá trị bằng \(1\);
\(d)\) Hàm số \(y = \cot{x}\) nhận giá trị bằng \(0\).
Trả lời:
\(a)\) Xét đồ thị hàm số \(y = \ – \ 1\) và đồ thị hàm số \(y = \tan{x}\) trên khoảng \((\ – \ \pi; \displaystyle \frac{3\pi}{2})\) ta có:
Quan sát đồ thị ta thấy, hàm số \(y = \tan{x}\) nhận giá trị bằng \(\ – \ 1\) tại \(x \in \left\{\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}; \displaystyle \frac{3\pi}{4}\right\}\).
\(b)\) Xét đồ thị hàm số \(y = \tan{x}\) trên khoảng \(\left(\ – \ \pi; \displaystyle \frac{3\pi}{2}\right)\)
Quan sát đồ thị ta thấy, hàm số \(y = \tan{x}\) nhận giá trị bằng \(0\) tại \(x \in \{0; \pi\}\).
\(c)\) Xét đồ thị hàm số \(y = 1\) và đồ thị hàm số \(y = \cot{x}\) trên khoảng \(\left(\ – \ \pi; \displaystyle \frac{3\pi}{2}\right)\):
Quan sát đồ thị ta thấy, hàm số \(y = \cot{x}\) nhận giá trị bằng \(1\) tại \(x \in \left\{\ – \ \displaystyle \frac{3\pi}{4}; \displaystyle \frac{\pi}{4}; \displaystyle \frac{5\pi}{4}\right\}\)
\(d)\) Xét đồ thị hàm số \(y = \cot{x}\) trên khoảng \(\left(\ – \ \pi; \displaystyle \frac{3\pi}{2}\right)\):
Quan sát đồ thị ta thấy, hàm số \(y = \cot{x}\) nhận giá trị bằng \(0\) tại \(x \in \left\{\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2}\right\}\).
\(\)
Bài \(3\). Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng tương ứng:
\(a)\) \(y = \sin{x}\) trên khoảng \(\left(\ – \ \displaystyle \frac{9\pi}{2}; \ – \ \displaystyle \frac{7\pi}{2}\right), \left(\displaystyle \frac{21\pi}{2}; \displaystyle \frac{23\pi}{2}\right)\);
\(b)\) \(y = \cos{x}\) trên khoảng \((\ – \ 20\pi; \ – \ 19\pi), (\ – \ 9\pi; \ – \ 8\pi)\).
Trả lời:
\(a)\) Xét hàm số \(y = \sin{x}\) ta có:
Do \(\left(\ – \ \displaystyle \frac{9\pi}{2}; \ – \ \displaystyle \frac{7\pi}{2}\right) = \left(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ 4\pi; \displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ 4\pi\right)\) nên hàm số \(y = \sin{x}\) đồng biến trên khoảng \(\left(\ – \ \displaystyle \frac{9\pi}{2}; \ – \ \displaystyle \frac{7\pi}{2}\right)\).
Do \(\left(\displaystyle \frac{21\pi}{2};\displaystyle \frac{23\pi}{2}\right) = \left(\displaystyle \frac{\pi}{2} + 10\pi; \displaystyle \frac{3\pi}{2} + 10\pi\right)\) nên hàm số \(y = \sin{x}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle \frac{21\pi}{2}; \displaystyle \frac{23\pi}{2}\right)\).
\(b)\) Xét hàm số \(y = \cos{x}\) ta có:
Do \((\ – \ 20\pi; \ – \ 19\pi) = (0 \ – \ 20\pi; 1 \ – \ 20\pi)\) nên hàm số \(y = \cos{x}\) nghịch biến trên khoảng \((\ – \ 20\pi; \ – \ 19\pi)\)
Do \((\ – \ 9\pi; \ – \ 8\pi) = (\ – \ \pi \ – \ 8\pi; 0 \ – \ 8\pi)\) nên hàm số \(y = \cos{x}\) đồng biến trên khoảng \((\ – \ 9\pi, \ – \ 8\pi)\)
\(\)
Bài \(4\). Dùng đồ thị hàm số, hãy cho biết:
\(a)\) Với mỗi \(m \in [\ – \ 1; 1]\), có bao nhiêu giá trị \(a \in \left[\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2}\right]\) sao cho \(\sin{\alpha} = m\);
\(b)\) Với mỗi \(m \in [\ – \ 1; 1]\), có bao nhiêu giá trị \(a \in [0; \pi]\) sao cho \(\cos{\alpha} = m\);
\(c)\) Với mỗi \(m \in \mathbb{R}\), có bao nhiêu giá trị \(\alpha \in (0; \pi)\) sao cho \(\tan{\alpha} = m\);
\(d)\) Với mỗi \(m \in \mathbb{R}\), có bao nhiêu giá trị \(\alpha \in \left(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\) sao cho \(\cot{\alpha} = m\).
Trả lời:
\(a)\) Xét đồ thị hàm số \(y = m\) với \(m \in [\ – \ 1; 1]\) và đồ thị hàm số \(y = \sin{x}\) trên \(\left[\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2}\right]\):
Quan sát đồ thị hai hàm số, ta thấy với mỗi \(m \in [\ – \ 1; 1]\) thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại \(1\) điểm.
Vậy với mỗi \(m \in [\ – \ 1; 1]\) sẽ có một giá trị \(a \in \left\{\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2}\right\}\) sao cho \(\sin{a} = m\)
\(b)\) Xét đồ thị hàm số \(y = m\) với \(m \in [\ – \ 1; 1]\) và đồ thị hàm số \(y = \cos{x}\) trên \([0; \pi]\):
Quan sát đồ thị hai hàm số, ta thấy với mỗi \(m \in [\ – \ 1; 1]\) thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại \(1\) điểm.
Vậy với mỗi \(m \in [\ – \ 1; 1]\) sẽ có một giá trị \(a \in [0; \pi]\) sao cho \(\cos{a} = m\)
\(c)\) Xét đồ thị hàm số \(y = m (m \in \mathbb{R})\) và đồ thị hàm số \(y = \tan{x}\) trên \(\left[\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2}\right]\):
Từ đồ thị hai hàm số ta thấy với mỗi \(m \in \mathbb{R}\) thì hai đồ thị cắt nhau tại \(1\) điểm.
Vậy với mỗi \(m \in \mathbb{R}\) sẽ có \(1\) giá trị \(a \in \left[\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2}\right]\) sao cho \(\tan{a} = m\).
\(d)\) Xét đồ thị hàm số \(y = m (m \in \mathbb{R})\) và đồ thị hàm số \(y = \cot{x}\) trên \([0; \pi]\):
Từ đồ thị hai hàm số ta thấy với mỗi \(m \in \mathbb{R}\) thì hai đồ thị cắt nhau tại \(1\) điểm.
Vậy với mỗi \(m \in \mathbb{R}\) sẽ có \(1\) giá trị \(a \in [0; \pi]\) sao cho \(\cot{a} = m\).
\(\)
Bài \(5\). Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:
\(a)\) \(y = \sin{x} \cos{x}\);
\(b)\) \(y = \tan{x} + \cot{x}\);
\(c)\) \(y = \sin^2{x}\).
Trả lời:
\(a)\) Xét hàm số \(y = f(x) = \sin{x} \cos{x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\):
\(+)\) \(\forall \in D\) thì \(\ – \ x \in D\);
\(+)\) \(f(\ – \ x) = \sin{(\ – \ x)}. \cos{(\ – \ x)} = \ – \ \sin{x} \cos{x}\)
\(= \ – \ f(x)\).
Do đó hàm số \(y = \sin{x} \cos{x}\) là hàm số lẻ.
\(b)\) Xét hàm số \(y = f(x) = \tan{x} + \cot{x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{k\pi; \displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi| k \in \mathbb{Z}\right\}\):
\(+)\) \(\forall x \in D\) thì \(\ – \ x \in D\);
\(+)\) \(f(\ – \ x) = \tan{(\ – \ x)} + \cot{(\ – \ x)}\)
\( = \ – \ \tan{x} + (\ – \ \cot{x}) =\ – \ (\tan{x} + \cot{x})\)
\(= \ – \ f(x)\)
Vậy hàm số \(y = \tan{x} + \cot{x}\) là hàm số lẻ.
\(c)\) Xét hàm số \(y = f(x) = \sin^2{x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\):
\(+)\) \(\forall x \in D\) thì \(\ – \ x \in \mathbb{D}\);
\(+)\) \(f(\ – \ x) = \sin^2{(\ – \ x)} = (\ – \ \sin{x})^2 = \sin^2{x} = f(x)\)
Vậy hàm số \(y = \sin^2{x}\) là hàm số chẵn.
\(\)
Bài \(6\). Một dao động điều hòa có phương trình li độ dao động là \(x = A \cos{(\omega t + \varphi}\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây, \(A\) là biên độ dao động và \(x\) là li độ dao động đều được tính bằng centimét. Khi đó, chu kì \(T\) của dao động là \(T = \displaystyle \frac{2\pi}{\omega}\). Xác định giá trị của li độ khi \(t = 0, t = \displaystyle \frac{T}{4}, t = \displaystyle \frac{T}{2}, t = T\) và vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa trên đoạn \([0; 2T]\) trong trường hợp:
\(a)\) \(A = 3 cm, \varphi = 0\);
\(b)\) \(A = 3 cm; \varphi = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\);
\(c)\) \(A = 3 cm, \varphi = \displaystyle \frac{\pi}{2}\).
Trả lời:
Ta có: \(T = \displaystyle \frac{2\pi}{\omega}\)
\(\Rightarrow \omega = \displaystyle \frac{T}{2\pi}\)
\(\Rightarrow x = A \cos{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T} t + \varphi\right)}\)
\(a)\) \(A = 3 cm, \varphi = 0\):
\(x = 3 \cos{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T} t\right)}\)
Ta có bảng các giá trị tương ứng của li độ \(x\) theo thời gian \(t\) như sau:
Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa \(x = 3\cos{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T} t\right)}\) trên đoạn \([0; 2T]\):
Xét hàm số \(x = 3\cos{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T} t\right)}\) có chu kì \(T\).
Dựa vào bảng số liệu vừa tính được, vẽ đồ thị hàm số \(x = 3\cos{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T}. t\right)}\) trên đoạn \([0; T]\).
Bằng cách di chuyển đồ thị hàm số \(x = 3\cos{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T} t\right)}\) trên đoạn \([0; T]\) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài \(T\) ta nhận được đồ thị hàm số \(x = 3\cos{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T} t\right)}\) trên đoạn \([T; 2T]\).
Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa \(x = 3\cos{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T} t\right)}\) trên đoạn \([0; 2T]\) như sau:
\(b)\) \(A = 3 cm, \varphi = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\):
\(x = 3 \cos{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T} t \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}\)
\(= 3 \sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T}. t\right)}\)
Ta có bảng các giá trị tương ứng của li độ \(x\) theo thời gian \(t\) như sau:
Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa \(x = 3\sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T}. t\right)}\) trên đoạn \([0; 2T]\):
Xét hàm số \(x = 3\sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T}. t\right)}\) có chu kì \(T\).
Dựa vào bảng số liệu vừa tính được, vẽ đồ thị hàm số \(x = 3\sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T}. t\right)}\) trên đoạn \([0; T]\).
Bằng cách dịch chuyển đồ thị của hàm số \(x = 3\sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T}. t\right)}\) trên đoạn \([0; T]\) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài \(T\), ta nhận được đồ thị hàm số \(x = 3\sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T}. t\right)}\) trên đoạn \([0; 2T]\).
Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa \(x = 3\sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T} t\right)}\) trên đoạn \([0; 2T]\) như sau:
\(c)\) \(A = 3 cm, \varphi = \displaystyle \frac{\pi}{2}\):
\(x = 3 \cos{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T} t + \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}\)
\(= \ – \ 3 \sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T}. t\right)}\).
Ta có bảng các giá trị tương ứng của li độ \(x\) theo thời gian \(t\) như sau:
Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa \(x = \ – \ 3\sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T}. t\right)}\) trên đoạn \([0; 2T]\):
Đồ thị hàm số \(x = \ – \ 3 \sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T}. t\right)}\) là hình đối xứng với đồ thị hàm số \(y = 3 \sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T}. t\right)}\) qua trục hoành.
Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa \(x = \ – \ 3\sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{T} t\right)}\) trên đoạn \([0; 2T]\) như sau:
\(\)
Bài \(7\). Trong bài toán mở đầu. Hãy chỉ ra một số giá trị của \(x\) để ống đựng nước cách mặt nước \(2 m\).
Trả lời:
Để ống đựng nước cách mặt nước \(2 m\) thì:
\(h = |y| = 2\)
\(\Leftrightarrow |2,5 \sin{(2\pi x \ – \ \frac{\pi}{2})} + 2| = 2\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II} 2,5 \sin{(2\pi x \ – \ \frac{\pi}{2})} + 2 = 2 \\ 2,5 \sin{(2\pi x \ – \ \frac{\pi}{2})} + 2 = \ – \ 2 \end{array} \right.\end{equation}\).
\(+)\) \(2,5 \sin{\left(2\pi x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} + 2 = 2\)
\(\Leftrightarrow \sin{\left(2\pi x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} = 0\)
\(\Leftrightarrow 2\pi x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} = k\pi, k \in \mathbb{Z}\).
\(\Leftrightarrow 2x \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} = k, k \in \mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{2k + 1}{4}, k \in \mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x \in \left\{…; \ – \ \displaystyle \frac{1}{4}; \displaystyle \frac{1}{4}; \displaystyle \frac{3}{4}; …\right\}\)
Vì \(x \geq 0\) nên \(x \in \left\{\displaystyle \frac{1}{4}; \displaystyle \frac{3}{4}; \displaystyle \frac{5}{4}; … \right\}\).
\(+)\) \(2,5 \sin{\left(2\pi x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} = \ – \ 2\)
\(\Leftrightarrow \sin{\left(2\pi x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} = \ – \ 1,6 < \ – \ 1\) vô nghiệm do \(\ – \ 1 \leq \sin{\alpha} \leq 1\)
Vậy một số giá trị \(x\) thỏa mãn để ống nước cách mặt nước \(2\) m là \(\displaystyle \frac{1}{4}; \displaystyle \frac{3}{4}; \displaystyle \frac{5}{4}, …\)
Bài 3. Hàm số lượng giác Bài 3. Hàm số lượng giác Bài 3. Hàm số lượng giác Bài 3. Hàm số lượng giác Bài 3. Hàm số lượng giác
Xem bài giải trước: Bài 2 – Các phép biến đổi lượng giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 4 – Phương trình lượng giác cơ bản
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.