Chương 7 – Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác trang 115 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
1. Cho tam giác ABC và điểm O thỏa mãn OA = OB = OC. Chứng minh rằng O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
Giải
Do OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do OB = OC nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BC nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
\(\)
2. Cho tam giác ABC. Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C trong mỗi trường hợp sau:
a) Tam giác ABC nhọn;
b) Tam giác ABC vuông tại A;
c) Tam giác ABC có góc A tù.
Giải
a) Tam giác ABC nhọn:
b) Tam giác ABC vuông tại A:
c) Tam giác ABC có góc A tù:
\(\)
3. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.
Giải
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
Do G vừa là trọng tâm của tam giác và P là trung điểm của AB nên C, G, P thẳng hàng.
Do G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên G nằm trên đường trung trực của cạnh AB do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Suy ra CA = CB.
Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.
Do đó AB = BC = CA.
Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.
\(\)
4. Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.
Giải
Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ I đến BC, CA, AB.
Do I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên IM = IN = IP.
Do I là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên I nằm trên đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.
Suy ra đường thẳng qua I, vuông góc với BC, CA, AB lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.
Do đó M, N, P lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.
Suy ra M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
Do AI là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên \(\widehat{BAI} = \widehat{CAI}\)
Xét hai tam giác vuông PAI và NAI có:
AI là cạnh chung;
\(\widehat{PAI} = \widehat{NAI}\) (chứng minh trên);
Suy ra \(∆PAI = ∆NAI\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Do đó PA = NA (hai cạnh tương ứng).
Mà P là trung điểm của AB nên \(PA = \displaystyle\frac{1}{2}BA;\) N là trung điểm của CA nên \(NA = \displaystyle\frac{1}{2}CA.\)
Suy ra AB = CA.
Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.
Do đó AB = BC = CA.
Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.
\(\)
5. Cho tam giác ABC. Đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm O nằm trong tam giác. M là trung điểm của BC. Chứng minh:
a) OM ⊥ BC;
b) \(\widehat{MOB} = \widehat{MOC}.\)
Giải
a) Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC.
Mà ba đường trung trực trong tam giác đồng quy nên O nằm trên đường trung trực của BC.
Lại có M là trung điểm của BC nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Do đó OM ⊥ BC.
b) Do OM ⊥ BC nên ∆OMB và ∆OMC vuông tại M.
Xét hai tam giác vuông OMB và OMC có:
OM là cạnh chung.
MB = MC (giả thiết).
Do đó \(∆OMB = ∆OMC\) (hai cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat{MOB} = \widehat{MOC}\) (hai góc tương ứng).
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải bài tập SGK Toán Lớp 7 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
