Bài 13. Hai mặt phẳng song song

Bài \(13\). Hai mặt phẳng song song trang \(88\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(4.21\). Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt \((P), (Q), (R)\). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(a)\) Nếu \((P)\) chứa một đường thẳng song song với \((Q)\) thì \((P)\) song song với \((Q)\).
\(b)\) Nếu \((P)\) chứa hai đường thẳng song song với \((Q)\) thì \((P)\) song song với \((Q)\).
\(c)\) Nếu \((P)\) và \((Q)\) song song với \((R)\) thì \((P)\) song song với \((Q)\).
\(d)\) Nếu \((P)\) và \((Q)\) cắt \((R)\) thì \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau.

Trả lời:

Mệnh đề \(a)\) sai vì nếu \((P)\) chứa một đường thẳng song song với \((Q)\) thì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau theo giao tuyến \(b\) song song với đường thẳng \(a\) nằm trong \((P)\).

Mệnh đề \(b)\) sai vì thiếu điều kiện hai đường thẳng đó cắt nhau.

Mệnh đề \(c)\) đúng.

Mệnh đề \(d\) sai vì hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) có thể cắt nhau.

\(\)

Bài \(4.22\). Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A’B’C’\). Gọi \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AA’, BB’, CC’\). Chứng minh rằng mặt phẳng \((MNP)\) song song với mặt phẳng \((ABC)\).

Trả lời:

Do tứ giác \(ABB’A’\) là hình bình hành có \(M, N\) lần lượt là trung điểm \(AA’, BB’\) nên \(MN // AB\) hay \(MB // (ABC)\)

Tương tự ta cũng có \(NP // BC\) hay \(NP // (ABC)\).

Mặt phẳng \((MNP)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(MN\) và \(NP\) cùng song song với mặt phẳng \((ABC)\) nên \((MNP) // (ABC)\).

\(\)

Bài \(4.23\). Cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB\) và \(CD\). Qua các điểm \(A, D\) lần lượt vẽ các đường thẳng \(m, n\) song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\). Chứng minh rằng mặt phẳng \((B, m)\) và mặt phẳng \((C, n)\) song song với nhau.

Trả lời:

Có \(m // n\) nên \(m // (C, n)\).

Mặt khác \(AB // CD\) (Do \(ABCD\) là hình thang có đáy \(AB\) và \(CD\))

Suy ra \(AB // (C, n)\)

Mặt phẳng \((B, m)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(AB\) và \(m\) cùng song song với mặt phẳng \((C, n)\) nên \((B, m) // (C, n)\).

\(\)

Bài \(4.24\). Cho hình tứ diện (SABC\). Trên cạnh \(SA\) lấy các điểm \(A_1, A_2\) sao cho \(AA_1 = A_1A_2 = A_2S\). Gọi \((P)\) và \((Q)\) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng \(ABC\) và lần lượt đi qua \(A_1, A_2\). Mặt phẳng \((P)\) cắt các cạnh \(SB, SC\) lần lượt tại \(B_1, C_1\). Mặt phẳng \((Q)\) cắt các cạnh \(SB, SC\) lần lượt tại \(B_2, C_2\). Chứng minh \(BB_1 = B_1B_2 = B_2S\) và \(CC_1 = C_1C_2 = C_2S\).

Trả lời:

Vì hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) cùng song song với \((ABC)\) nên ba mặt phẳng \((ABC), (P), (Q)\) đôi một song song với nhau.

Áp dụng định lí Thales trong không gian, ta được:

\(\displaystyle \frac{A_1A_2}{AA_1} = \displaystyle \frac{B_1B_2}{BB_1} = \displaystyle \frac{C_1C_2}{CC_1}\)

Mà \(AA_1 = A_1A_2\) nên suy ra:

\(BB_1 = B_1B_2, CC_1 = C_1C_2\) (\(1\))

Áp dụng định lí Thales ta cũng có:

\(\displaystyle \frac{A_2S}{A_1A_2} = \displaystyle \frac{B_2S}{B_1B_2} = \displaystyle \frac{C_2S}{C_1C_2}\)

Mặt khác \(A_1A_2 = A_2S\)

Suy ra \(B_1B_2 = B_2S, C_1C_2 = C_2S\) (\(2\))

Từ (\(1\)) và (\(2\)) suy ra:

\(BB_1 = B_1B_2 = B_2S\) và \(CC_1 = C_1C_2 = C_2S\)

\(\)

Bài \(4.25\). Cho hình lăng trụ tứ giác \(ABCD.A’B’C’D’\). Một mặt phẳng song song với mặt phẳng \(A’B’C’D’\) cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại \(A”, B”, C”, D”\). Hỏi hình tạo bởi các điểm \(A, B, C, D, A”, B”, C”, D”\) là hình gì?

Trả lời:

Do \(ABCD.A’B’C’D’\) là lăng trụ tứ giác nên hai mặt phẳng \((ABCD) // (A’B’C’D’)\).

Mặt khác \((A”B”C”D”) // (A’B’C’D’)\)

Suy ra \((ABCD) // (A’B’C’D’)\) (\(1\))

Lại có các cạnh bên của hình lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\) đôi một song song nên suy ra:

\(AA”, BB”, CC”, DD”\) đôi một song song (\(2\))

Từ (\(1\)) và (\(2\)) suy ra \(ABCD.A”B”C”D”\) là lăng trụ tứ giác.

Vậy hình tạo bởi các điểm \(A, B, C, D, A”, B”, C”, D”\) là hình lăng trụ tứ giác.

\(\)

Bài \(4.26\). Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A’B’C’\). Gọi \(G\) và \(G’\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\).
\(a)\) Chứng minh rằng tứ giác \(AGG’A’\) là hình bình hành.
\(b)\) Chứng minh rằng \(AGC.A’G’C’\) là hình lăng trụ.

Trả lời:

\(a)\) Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(BC. B’C’\)

Khi đó, \(MN\) là đường trung bình của hình bình hành \(BCC’B’\).

Suy ra \(MN // BB’, MN = BB’\) (\(1\))

Mặt khác, \(ABC.A’B’C’\) là lăng trụ tam giác nên \(AA’ // BB’, AA’ = BB’\) (\(2\))

Từ (\(1\)) và (\(2\)) suy ra: \(AA’ // MN, AA’ = MN\) hay tứ giác \(AMNA’\) là hình bình hành.

Suy ra \(AM // A’N, AM = A’N\)

Lại có \(G, G’\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(ABC, A’B’C’\) nên ta có: \(\displaystyle \frac{AG}{AM} = \displaystyle \frac{A’G’}{A’N} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

Từ đó suy ra: \(AG = A’G’, AG // A’G’\)

Suy ra tứ giác \(AGG’A’\) là hình bình hành.

\(b)\) Tứ giác \(AGG’A’\) là hình bình hành nên \(AA’ // GG’\)

Chứng minh tương tự ta được tứ giác \(CC’G’G\) là hình bình hành.

Suy ra \(GG’ // CC’\)

Suy ra ba đường thằng \(AA’, GG’, CC’\) đôi một song song với nhau.

Lại có \((AGC) // (A’G’C’)\)

Từ đó suy ra \(AGC.A’G’C’\) là lăng trụ tam giác.

\(\)

Bài \(4.27\). Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). Một mặt phẳng song song với mặt bên \(ABB’A’\) của hình hộp và cắt các cạnh \(AD, BC, A’D’, B’C’\) lần lượt tại \(M, N, M’, N’\) (\(H.4.54\)).
Chứng minh rằng \(ABNm.A’B’N’M’\) là hình hộp.

Trả lời:

Do \(ABCD.A’B’C’D’\) là hình hộp nên các cạnh \(AA’, BB’, CC’, DD’\) đôi một song song với nhau và \((ABCD) // (A’B’C’D’)\).

Lại có \(M, N\) thuộc \((ABCD)\), \(M’, N’\) thuộc \((A’B’C’D’)\) nên \((ABNM) // (A’B’N’M’)\)

Ta có: \((ABB’A’) // (MNN’M’)\)

Mặt phẳng \((ABCD)\) cắt hai mặt phẳng song song \((ABB’A’) \text{ và } (MNN’M’)\) theo hai giao tuyến \(AB, MN\) nên \(AB // MN\).

Chứng minh tương tự ta được: \(A’B’ // M’N’, AA’ // MM’, BB’ // NN’\)

Mà \(AA’ // BB’\) nên ta có \(AA’, BB’, MM’, NN’\) đôi một song song với nhau.

Từ đó suy ra, \(ABNM.A’B’N’M’\) là hình lăng trụ.

Xét tứ giác \(ABNM\) có \(AB // MN, AM // BN\) nên tứ giác \(ABNM\) là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác \(A’B’N’M’\) là hình bình hành.

Suy ra, hình lăng trụ \(ABNM.A’B’N’M’\) có đáy là hình bình hành nên \(ABNM.A’B’N’M’\) là hình hộp.

\(\)

Bài \(4.28\). Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình \(4.55\) phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao?