Bài tập cuối chương II

Bài tập cuối chương \(II\) trang \(56\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

\(A\). TRẮC NGHIỆM

Bài \(2.22\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(A.\) Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.
\(B\). Một dãy số giảm thì bị chặn trên.
\(C\). Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.
\(D\). Một dãy số không đổi thì bị chặn.

Trả lời:

Chọn đáp án \(D\)

\(\)

Bài \(2.23\). Cho dãy số
\(1, \displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle \frac{1}{4}, \displaystyle \frac{1}{8}, …\) (số hạng sau bằng một nửa só hạng liền trước nó).
Công thức tổng quát của dãy số đã cho là:
\(A\). \(u_n = \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^n\).
\(B\). \(u_n = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^n}{2^{n \ – \ 1}}\).
\(C\). \(u_n = \displaystyle \frac{1}{2n}\)
\(D\). \(u_n = \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1}\).

Trả lời:

Ta có: \(q = \displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{1} = \displaystyle \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

Cấp số đã cho là cấp số nhân có \(u_1 = 1\) và công sai \(d = \displaystyle \frac{1}{2}\) nên công thức số hạng tổng quát là:

\(u_n = 1. \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ \ 1} = \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1}\)

Chọn đáp án \(D\)

\(\)

Bài \(2.24\). Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = 3n + 6\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(A\). Dãy số \((u_n)\) là cấp số cộng với công sai \(d = 3\).
\(B\). Dãy số \((u_n)\) là cấp số cộng với công sai \(d = 6\).
\(C\). Dãy số \((u_n)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 3\).
\(D\). Dãy số \((u_n)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 6\).

Trả lời:

Ta có: \(u_{n \ – \ 1} = 3 (n \ – \ 1) + 6 = 3n + 3\)

Suy ra: \(u_n \ – \ u_{n \ – \ 1} = 3n + 6 \ – \ (3n + 3) = 3 \forall n \geq 2\)

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai \(d = 3\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(2.25\). Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?
\(A\). \(u_1 = \ – \ 1, u_{n + 1} = u_n^2\).
\(B\). \(u_1 = \ – \ 1, u_{n + 1} = 2u_n\).
\(C\). \(u_1 = \ – \ 1, u_{n + 1} = u_n + 2\).
\(D\). \(u_1 = \ – \ 1, u_{n + 1} = u_n \ – \ 2\).

Trả lời:

Xét với \(u_1 = \ – \ 1, u_{n + 1} = 2u_n\)

Ta có: \(\displaystyle \frac{u_{n + 1}}{u_n} = \displaystyle \frac{2u_n}{u_n} = 2 \forall n \geq 2\)

Suy ra dãy số đã cho là cấp số nhân.

Chọn đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(2.26\). Tổng \(100\) số hạng đầu của dãy số \((u_n)\) với \(u_n = 2n \ – \ 1\) là:
\(A\). \(199\).
\(B\). \(2^{100} \ – \ 1\).
\(C\). \(10000\).
\(D\). \(9999\).

Trả lời:

Ta có: \(u_1 = 2. 1 \ – \ 1 = 1\)

\(u_{n \ – \ 1} = 2(n \ – \ 1) \ – \ 1 = 2n \ – \ 3\)

Xét \(u_n \ – \ u_{n \ – \ 1} = 2n \ – \ 1 \ – \ (2n \ – \ 3) = 2\)

Vậy \((u_n)\) là cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công sai \(d = 2\)

Tổng của \(100\) số hạng đầu tiên của dãy là:

\(S_n = \displaystyle \frac{100}{2}[2. 1 + (100 \ – \ 1). 2] = 10000\)

Chọn đáp án \(C\)

\(\)

\(B\) – TỰ LUẬN

Bài \(2.27\). Từ \(0\) giờ đến \(12\) giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ.

Trả lời:

Vì đồng hồ chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ nên số tiếng chuông đánh vào mỗi giờ sẽ lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công sai \(d = 1\)

Tổng số tiếng chuông đồng hồ quả lắc đánh trong khoảng \(0\) giờ đến \(12\) giờ là tổng của \(12\) số hạng đầu của cấp số cộng trên và bằng:

\(S_{12} = \displaystyle \frac{(1 + 12). 12}{2} = 78\) (tiếng chuông)

\(\)

Bài \(2.28\). Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ \(20\) phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau \(24\) giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Trả lời:

Số lần phân chia của tế bào sau \(24\) giờ là:

\(\displaystyle \frac{24. 60}{20} = 72\) lần.

Số tế bào phân chia sau mỗi \(20\) phút lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 =2\) và công bội \(d = 2\)

Suy ra, sau \(24\) giờ tương ứng với \(n = 72\)

Vậy \(u_{72} = 2. 2^{72 \ – \ 1} = 2. 2^{71} = 4,722. 10^{21}\) (tế bào)

\(\)

Bài \(2.29\). Chứng minh rằng:
\(a)\) Trong một cấp số cộng \((u_n)\), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
\(u_k = \displaystyle \frac{u_{k \ – \ 1} + u_{k + 1}}{2}\) với \(k \geq 2\).
\(b)\) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
\(u_k^2 = u_{k \ – \ 1}. u_{k + 1}\) với \(k \geq 2\).

Trả lời:

\(a)\) Xét cấp số cộng \((u_n)\) có:

\(u_{n \ – \ 1} = u_1 + d(n \ – \ 2)\)

\(u_n = u_1 + d(n \ – \ 1)\)

\(u_{n + 1} = u_1 + d. n\)

Suy ra:

\(u_{n \ – \ 1 } + u_{n + 1} = u_1 + d(n \ – \ 2) + u_1 + d. n\)

\(= 2u_1 + 2d(n \ – \ 1) = 2 [u_1 + d(n \ – \ 1)] = 2 u_n\)

\(\Rightarrow u_n = \displaystyle \frac{u_{n \ – \ 1} + u_{n + 1}}{2}\)

Hay \(u_k = \displaystyle \frac{u_{k \ – \ 1} + u_{k + 1}}{2}\) (đpcm)

\(b)\) Xét cấp số nhân \((u_k)\) ta có:

\(u_{k \ – \ 1} = u_1. q^{k \ – \ 2}\)

\(u_{k} = u_1. q^{k \ – \ 1}\)

\(u_{k + 1} = u_1. q^{k}\)

\(\Rightarrow u_{k \ – \ 1}. u_{k + 1} = u_1^2. q^{k \ – \ 2}. q^k = u_1^2. q^{2k \ – \ 2}\)

\(= (u_1. q^{k \ – \ 1})^2 = u_k^2\) (đpcm)

\(\)

Bài \(2.30\). Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng \(21\), và nếu lần lượt cộng thêm các số \(2; 3; 9\) vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Trả lời:

Gọi ba số cần tìm theo thứ tự lần lượt là \(x, y, z\) lập thành cấp số cộng với công sai \(d\)

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

\(x + z = 2y\)

Mặt khác \(x + y + z = 21\)

Suy ra \(3y = 21 \Rightarrow y = 7\)

Ta có: \(x = 7 \ – \ d, z = 7 + d\)

Lần lượt cộng thêm các số \(2; 3; 9\) vào các số \(x, y, z\) ta được cấp số nhân sau:

\(9 \ – \ d, 10, 16 + d\)

Theo tính chất của cấp số nhân, ta được:

\((9 \ – \ d)(16 + d) = 10^2\)

\(\Leftrightarrow d^2 + 7d \ – \ 44 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}d = \ – \ 11\\d = 4 \end{matrix} \right.\)

Vậy ba số cần tìm là: \(18; 7; \ – \ 4\) hoặc \(3; 7; 11\).

\(\)

Bài \(2.31\). Mặt sàn tầng \(1\) (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân \(0,5\) m. Cầu thang tầng một lên tầng hai gồm \(25\) bậc, mỗi bậc cao \(16\) cm.
\(a)\) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ \(n\) so với mặt sân.
\(b)\) Tính độ cao của sàn tầng \(2\) so với mặt sân.

Trả lời:

\(a)\) Mỗi bậc thang cao \(16\) cm = \(0,16\) m.

Khi đó, độ cao của \(n\) bậc thang là: \(0,16n\) m

Vì mặt sàn tầng \(1\) cao hơn mặt sân \(0,5\) m nên ta có công thức tính độ cao của bậc cầu thang thứ \(n\) so với mặt sân là:

\(h_n = 0,5 + 0 16n\) (m)

\(b)\) Độ cao của sàn tầng \(2\) so với mặt sân tương ứng với \(n = 25\) là:

\(h_{25} = 0,5 + 0,16. 25 = 4,5\) (m)

\(\)

Bài \(2.32\). Một hình vuông màu vàng có cạnh \(1\) đơn vị dài được chia thành \(9\) hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình \(2.1\). Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành \(9\) hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại \(5\) lần thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh bao nhiêu?

Trả lời:

Diện tích hình vuông màu xanh sau lần phân chia thứ nhất là: \(\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^2 = \displaystyle \frac{1}{9^1}\) và số ô vuông được tạo ra là \(8^0\).

Diện tích hình vuông màu xanh sau lần phân chia thứ hai là: \(\displaystyle \frac{1}{9^2}\) và số hình vuông được tạo ra là \(8^1\).

Làm tương tự ta được:

Diện tích hình vuông màu xanh sau \(5\) lần phân chia là \(\displaystyle \frac{1}{9^5}\) và số hình vuông được tạo ra là \(8^4\).

Suy ra, tổng diện tích các hình vuông màu xanh sau \(5\) lần phân chia là:

\(\displaystyle \frac{1}{9} + \displaystyle \frac{1}{9^2}. 8^1 + … + \displaystyle \frac{1}{9^5}. 8^4 = 0,445\) đvdt

Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II

Xem bài giải trước: Bài 7 – Cấp số nhân
Xem bài giải tiếp theo: Bài 8 – Mẫu số liệu ghép nhóm
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech