Bài tập cuối chương 3

Bài tập cuối chương 3 trang 74 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

A. TRẮC NGHIỆM

3.39. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Không có tứ giác nào mà không có góc tù.

B. Nếu tứ giác có ba góc nhọn thì còn lại là góc tù.

C. Nếu tứ giác có hai góc tù thì hai góc còn lại phải nhọn.

D. Không có tứ giác nào có ba góc tù.

Giải

A sai vì hình vuông là tứ giác không có góc tù.

B đúng vì tổng số đo của ba góc nhọn bé hơn \(270^o\) nên góc còn lại lớn hơn \(90^o\) là góc tù.

C sai vì hai góc còn lại có thể là góc tù và góc nhọn.

D sai vì tứ giác có thể có ba góc tù chẳng hạn \(100^o; 100^o; 100^o; 60^o.\)

\(\)

3.40. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình bình hành.

b) Tứ giác có hai cặp cạnh bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

d) Tứ giác có ba cạnh bằng nhau là hình thoi.

Giải

Khẳng định sai: a), b), c).

Khẳng định đúng: d).

\(\)

3.41. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình chữ nhật.

b) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có hai cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

d) Tứ giác có hai cạnh song song và hai cạnh còn lại bằng nhau là hình bình hành.

Giải

Khẳng định đúng: a), b), c).

Khẳng định sai: d).

\(\)

B. TỰ LUẬN

3.42. Chứng minh rằng nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân.

Giải

Xét hai tam giác ABD và BAC, ta có:

AB là cạnh chung;

AD = BC (giả thiết);

BD = AC (giả thiết).

Suy ra ∆ABD = ∆BAC (c.c.c).

Do đó \(\widehat{ABD} =\widehat{BAC}\) (hai góc tương ứng).

Xét hai tam giác ADC và BCD, ta có:

DC là cạnh chung;

AD = BC (giả thiết);

AC = BD (giả thiết).

Suy ra ∆ADC = ∆BCD (c.c.c).

Do đó \(\widehat{ACD} =\widehat{BDC}\) (hai góc tương ứng).

Gọi giao điểm của AC và BD là O.

\(\widehat{ABD}=\widehat{BAC}\) suy ra ∆OAB cân tại O.

\(⇒\widehat{ABD}=\widehat{BAC}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{AOB}}{2}.\)

\(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\) suy ra ∆ODC cân tại O.

\(⇒\widehat{ACD}=\widehat{BDC}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{DOC}}{2}.\)

Mà \(\widehat{AOB}=\widehat{DOC}\) (đối đỉnh) suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{BDC},\)

Hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Do đó ABCD là hình thang.

Hình thang ABCD có AC = BD nên là hình thang cân.

\(\)

3.43. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm P trên tia AB sao cho AP = 2AB.

a) Tứ giác BPCD có phải là hình bình hành không? Tại sao?

b) Khi tam giác ABD vuông cân tại A, hãy tính số đo các góc của tứ giác BPCD.

Giải

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Do điểm P ∈ AB nên BP // CD.

Ta có AP = AB + BP mà AP = 2AB do đó BP = AB suy ra BP = CD.

Tứ giác BPCD có BP = CD và BP // CD suy ra BPCD là hình bình hành.

b) ΔABD vuông cân tại A suy ra \(\widehat{A}=90^o,\) AB = AD do đó ABCD là hình vuông.

Khi đó BD là phân giác \(\widehat{ABC}\)\(⇒\widehat{DBC}=45^o⇒\widehat{DBP}=45^o+90^o=135^o.\)

\(\widehat{PCD}=\widehat{DBP}=135^o.\)

BD // PC \(⇒\widehat{BPC}=\widehat{ABD}=45^o\) (hai góc đồng vị).

\(\widehat{BDC}=\widehat{BPC}=45^o.\)

\(\)

3.44. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB (H.3.59).

a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau.

b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật. Từ đó suy ra N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC.

c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh rằng tứ giác AMCQ là một hình thoi.

d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có là hình vuông không? Vì sao?

Giải

a) Ta có MP ⊥ AC, AB ⊥ AC suy ra MP // AB.

Khi đó \(\widehat{CMP}=\widehat{B}\) (hai góc đồng vị).

Xét hai tam giác vuông CMP và MBN ta có:

CM = MB (giả thiết);

\(\widehat{CMP}=\widehat{B}\) (chứng minh trên).

Do đó ΔCMP = ΔMBN (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Tứ giác APMN có \(\widehat{APM} =\widehat{PAN} =\widehat{MNA} =90^o\) nên APMN là hình chữ nhật.

Xét ∆ABC có: M là trung điểm BC, MP // AB suy ra P là trung điểm AC.

Tương tự ta có: M là trung điểm BC, MN // AP suy ra N là trung điểm AB.

c) Xét tứ giác AMCQ có P là trung điểm MQ; P là trung điểm AC; AC ⊥ MQ.

Suy ra tứ giác AMCQ là hình thoi.

d) Nếu ΔABC vuông cân tại A thì AM vừa là đường trung tuyến cũng là đường cao của ΔABC.

Suy ra \(\widehat{AMC}=90^o.\)

Hình thoi AMCQ có \(\widehat{AMC}=90^o\) suy ra AMCQ là hình vuông.

\(\)

3.35. Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC, còn N là chân đường vuông góc hạ từ B xuống ME (H.3.60).