Bài 14: Hình thoi và hình vuông

Chương 3 – Bài 14: Hình thoi và hình vuông trang 71 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

3.29. Tìm các hình thoi và hình vuông trong Hình 3.55.

Giải

Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có hai đường chéo EG và FH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hình bình hành EFGH có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Tứ giác MNPQ có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Lại có \(\widehat{M} =90^o\) suy ra MNPQ là hình vuông.

\(\)

3.30. Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF là hình thoi?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì?

d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì điểm D ở vị tri nào trên cạnh BC để AEDF là hình vuông?

Giải

a) Tứ giác AEDF là hình bình hành vì AE // DF; AF // DE (giả thiết).

b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A.

Vậy nếu D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AEDF là hình thoi.

c) Nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông).

d) Nếu ABC vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác của góc A với cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi).

\(\)

3.31. Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Giải

Xét ∆ABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD.

Suy ra EH là đường trung bình của ∆ABD.

Do đó \(EH=\displaystyle\frac{BD}{2}\) (1)

Chứng minh tương tự, ta có: \(FG=\displaystyle\frac{BD}{2};\ EF=\displaystyle\frac{AC}{2};\ HG=\displaystyle\frac{AC}{2}\) (2)

Lại có, ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra EF = FG = GH = HE.

Do đó tứ giác ABCD là hình thoi.

\(\)

3.32. Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Giải

Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Suy ra MN là đường trung bình của ∆ABC.

Do đó MN // AC và \(MN=\displaystyle\frac{AC}{2}\) (1)

Tương tự ∆ADC có QP là đường trung bình nên:

QP // AC và \(QP=\displaystyle\frac{AC}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MN // QP và MN = QP.

Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Mặt khác MN // AC và BD ⊥ AC nên BD ⊥ MN.

MQ // BD và MN ⊥ BD suy ra MN ⊥ MQ nên \(\widehat{NMQ} =90^o.\)

Hình bình hành MNPQ có \(\widehat{NMQ} =90^o\) nên là hình chữ nhật.

\(\)

3.33. Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 36 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Biết rằng MA ⊥ MD. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD (H.3.56).