Bài 3. Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Chương 2 – Bài 3. Phép nhân, phép chia phân thức đại số trang 47 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Thực hiện phép tính:

a) \(\displaystyle\frac{3x+6}{4x-8}.\displaystyle\frac{2x-4}{x+2};\)

b) \(\displaystyle\frac{x^2-36}{2x+10}.\displaystyle\frac{x+5}{6-x};\)

c) \(\displaystyle\frac{1-y^3}{y+1}.\displaystyle\frac{5y+5}{y^2+y+1};\)

d) \(\displaystyle\frac{x+2y}{4x^2-4xy+y^2}.(2x-y).\)

Giải

a) \(\displaystyle\frac{3x+6}{4x-8}.\displaystyle\frac{2x-4}{x+2}=\displaystyle\frac{(3x+6)(2x-4)}{(4x-8)(x+2)}\)

\(=\displaystyle\frac{3(x+2).2(x-2)}{4(x-2)(x+2)}=\displaystyle\frac{6}{4}=\displaystyle\frac{3}{2}.\)

b) \(\displaystyle\frac{x^2-36}{2x+10}.\displaystyle\frac{x+5}{6-x}=-\displaystyle\frac{(x^2-36)(x+5)}{(2x+10)(x-6)}\)

\(=-\displaystyle\frac{(x-6)(x+6)(x+5)}{2(x+5)(x-6)}=-\displaystyle\frac{x+6}{2}.\)

c) \(\displaystyle\frac{1-y^3}{y+1}.\displaystyle\frac{5y+5}{y^2+y+1}=\displaystyle\frac{(1-y^3)(5y+5)}{(y+1)(y^2+y+1)}\)

\(=\displaystyle\frac{(1-y)(1+y+y^2).5(y+1)}{(y+1)(y^2+y+1)}\)

\(=(1-y).5=5-5y.\)

d) \(\displaystyle\frac{x+2y}{4x^2-4xy+y^2}.(2x-y)=\displaystyle\frac{(x+2y).(2x-y)}{4x^2-4xy+y^2}\)

\(=\displaystyle\frac{(x+2y).(2x-y)}{(2x-y)^2}=\displaystyle\frac{x+2y}{2x-y}.\)

\(\)

2. Thực hiện phép tính:

a) \(\displaystyle\frac{20x}{3y^2}:\left(-\displaystyle\frac{15x^2}{6y}\right);\)

b) \(\displaystyle\frac{9x^2-y^2}{x+y}:\displaystyle\frac{3x+y}{2x+2y};\)

c) \(\displaystyle\frac{x^3+y^3}{y-x}:\displaystyle\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2};\)

d) \(\displaystyle\frac{9-x^2}{x}:(x-3).\)

Giải

a) \(\displaystyle\frac{20x}{3y^2}:\left(-\displaystyle\frac{15x^2}{6y}\right)=\displaystyle\frac{20x}{3y^2}.\left(-\displaystyle\frac{6y}{15x^2}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{-20x.6y}{3y^2.15x^2}=\displaystyle\frac{-120xy}{45x^2y^2}=\displaystyle\frac{-8}{3xy}.\)

b) \(\displaystyle\frac{9x^2-y^2}{x+y}:\displaystyle\frac{3x+y}{2x+2y}=\displaystyle\frac{9x^2-y^2}{x+y}.\displaystyle\frac{2x+2y}{3x+y}\)

\(=\displaystyle\frac{(3x-y)(3x+y).2(x+y)}{(x+y)(3x+y)}\)

\(=(3x-y).2=6x-2y.\)

c) \(\displaystyle\frac{x^3+y^3}{y-x}:\displaystyle\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}\)

\(=\displaystyle\frac{x^3+y^3}{y-x}.\displaystyle\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2-xy+y^2}\)

\(=-\displaystyle\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x-y}.\displaystyle\frac{(x-y)^2}{x^2-xy+y^2}\)

\(=-(x+y)(x-y)=y^2-x^2.\)

d) \(\displaystyle\frac{9-x^2}{x}:(x-3)=\displaystyle\frac{9-x^2}{x}.\displaystyle\frac{1}{x-3}\)

\(=-\displaystyle\frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}=-\displaystyle\frac{x+3}{x}.\)

\(\)

3. Tính một cách hợp lí:

a) \(\displaystyle\frac{x^2-49}{x^2+5}.\left(\displaystyle\frac{x^2+5}{x-7}-\displaystyle\frac{x^2+5}{x+7}\right);\)

b) \(\displaystyle\frac{19x+8}{x+1975}.\displaystyle\frac{2000-x}{x+1945}+\displaystyle\frac{19x+8}{x+1975}.\displaystyle\frac{2x-25}{x+1945}.\)

Giải

a) \(\displaystyle\frac{x^2-49}{x^2+5}.\left(\displaystyle\frac{x^2+5}{x-7}-\displaystyle\frac{x^2+5}{x+7}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{x^2-49}{x^2+5}.\displaystyle\frac{x^2+5}{x-7}-\displaystyle\frac{x^2-49}{x^2+5}.\displaystyle\frac{x^2+5}{x+7}\)

\(=\displaystyle\frac{(x-7)(x+7)}{x^2+5}.\displaystyle\frac{x^2+5}{x-7}-\displaystyle\frac{(x-7)(x+7)}{x^2+5}.\displaystyle\frac{x^2+5}{x+7}\)

\(=(x+7)-(x-7)=14.\)

b) \(\displaystyle\frac{19x+8}{x+1975}.\displaystyle\frac{2000-x}{x+1945}+\displaystyle\frac{19x+8}{x+1975}.\displaystyle\frac{2x-25}{x+1945}\)

\(=\displaystyle\frac{19x+8}{x+1975}.\left(\displaystyle\frac{2000-x}{x+1945}+\displaystyle\frac{2x-25}{x+1945}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{19x+8}{x+1975}.\left(\displaystyle\frac{2000-x+2x-25}{x+1945}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{19x+8}{x+1975}.\displaystyle\frac{x+1975}{x+1945}=\displaystyle\frac{19x+8}{x+1975}.\)

\(\)

4. Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) \(A=\left(\displaystyle\frac{x}{xy-y^2}+\displaystyle\frac{2x-y}{xy-x^2}\right).\displaystyle\frac{x^2y-xy^2}{(x-y)^2};\)

b) \(B=\left(\displaystyle\frac{1}{x^2+4x+4}-\displaystyle\frac{1}{x^2-4x+4}\right):\left(\displaystyle\frac{1}{x+2}+\displaystyle\frac{1}{x-2}\right).(x^2-4).\)

Giải

a) \(A=\left(\displaystyle\frac{x}{xy-y^2}+\displaystyle\frac{2x-y}{xy-x^2}\right).\displaystyle\frac{x^2y-xy^2}{(x-y)^2}\)

\(=\left(\displaystyle\frac{x}{y(x-y)}+\displaystyle\frac{2x-y}{x(y-x)}\right).\displaystyle\frac{xy(x-y)}{(x-y)^2}\)

\(=\left[\displaystyle\frac{x^2}{xy(x-y)}-\displaystyle\frac{(2x-y).y}{xy(x-y)}\right].\displaystyle\frac{xy}{x-y}\)

\(=\displaystyle\frac{x^2-(2x-y).y}{xy(x-y)}.\displaystyle\frac{xy}{x-y}=\displaystyle\frac{x^2-2xy+y^2}{(x-y)^2}\)

\(=\displaystyle\frac{(x-y)^2}{(x-y)^2}=1.\)

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) \(B=\left(\displaystyle\frac{1}{x^2+4x+4}-\displaystyle\frac{1}{x^2-4x+4}\right):\left(\displaystyle\frac{1}{x+2}+\displaystyle\frac{1}{x-2}\right).\)

\(=\left(\displaystyle\frac{x^2-4x+4}{(x-2)^2(x+2)^2}-\displaystyle\frac{x^2+4x+4}{(x-2)^2(x+2)^2}\right):\left(\displaystyle\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}+\displaystyle\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}\right).(x^2-4)\)

\(=\displaystyle\frac{-8x}{(x+2)^2(x-2)^2}:\displaystyle\frac{2x}{(x-2)(x+2)}.(x-2)(x+2)\)

\(=\displaystyle\frac{-8x}{(x+2)^2(x-2)^2}.\displaystyle\frac{(x-2)(x+2)}{2x}.(x-2)(x+2)\)

\(=\displaystyle\frac{-8x}{2x}=-4.\)

Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến.

\(\)

5. Một xí nghiệp theo kế hoạch cần phải sản xuất 120 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do cải tiến kĩ thuật nên xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn quy định 1 ngày và làm thêm được 5 tấn hàng. Gọi x là số ngày xí nghiệp cần làm theo quy định. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;

b) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;

c) Tỉ số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

Giải

a) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định: \(\displaystyle\frac{120}{x}.\)

b) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế: \(\displaystyle\frac{125}{x-1}.\)

c) Tỉ số của số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định:

\(\displaystyle\frac{125}{x-1}:\displaystyle\frac{120}{x}=\displaystyle\frac{125}{x-1}.\displaystyle\frac{x}{120}=\displaystyle\frac{125x}{120x-120}.\)

\(\)

6. Một xe ô tô chở hàng đi từ địa điểm A đến địa điểm B hết x giờ. Sau khi trả hàng tại địa điểm B, xe quay ngược trở lại địa điểm A nhưng thời gian xe chạy về đến A chỉ là x – 1 giờ. Biết quãng đường AB dài 160 km, viết phân thức biểu thị theo x:

a) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B;

b) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A;

c) Tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A.

Giải

a) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B: \(\displaystyle\frac{160}{x}.\)

b) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A: \(\displaystyle\frac{160}{x-1}.\)

c) Tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A:

\(\displaystyle\frac{160}{x}:\displaystyle\frac{160}{x-1}=\displaystyle\frac{160}{x}.\displaystyle\frac{x-1}{160}=\displaystyle\frac{x-1}{x}.\)

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 2. Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương 2

Xem thêm các bài giải khác tại: Giải bài tập SGK Toán Lớp 8 Cánh Diều