Bài 4. Hai mặt phẳng song song

Bài \(4\). Hai mặt phẳng song song trang \(113\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Trong mặt phẳng \((P)\) cho hình bình hành \(ABCD\). Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với \((P)\) lần lượt đi qua các điểm \(A, B, C, D\). Một mặt phẳng \((Q)\) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại \(A’, B’, C’, D’\). Chứng minh rằng \(AA’ + CC’ = BB’ + DD’\).

Trả lời:

Ta có \(AB // CD\) nên \(AB // (CDD’C’)\)

\(BB’ // CC’\) nên \(BB’ // (CDD’C’)\)

Mặt phẳng \((ABB’A’)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(AB\) và \(BB’\) cùng song song với \((CDD’C’)\) nên \((ABB’A’) // (CDD’C’)\)

Ta cũng có \(BC // AD\) nên \(BC // (ADD’A’)\)

\(BB’ // AA’\) nên \(BB’ // (ADD’A’)\)

Mặt phẳng \((BCC’B’)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(BC\) và \(BB’\) cùng song song với mặt phẳng \((ADD’A’)\) nên \((BCC’B’) // (ADD’A’)\).

Mặt phẳng \((A’B’C’D’)\) cắt hai mặt phẳng song song \((BCC’B’)\) và \((ADD’A’)\) lần lượt tại \(B’C’\) và \(A’D’\) nên \(B’C’ // A’D’\)

Mặt phẳng \((A’B’C’D’)\) cắt hai mặt phẳng song song \((ABB’A’)\) và \((CDD’C’)\) lần lượt tại (A’B’) và (C’D’) nên (A’B’ // C’D’)

Suy ra tứ giác \(A’B’C’D’\) là hình bình hành.

Gọi \(O, O’\) lần lượt là giao điểm hai đường chéo của hai hình bình hành \(ABCD\) và \(A’B’C’D’\).

Khi đó: \(OB = OD, O’B’ = O’D’\).

Mặt phẳng \((BB’D’D)\) cắt hai mặt phẳng song song \((ABB’A’)\) và \((CDD’A’)\) lần lượt tại \(BB’\) và \(DD’\) nên \(BB’ // DD’\).

Xét hình thang \(BB’D’D\) có \(OO’\) là đường trung bình nên ta có:

\(BB’ + DD’ = 2 OO’\) \((1)\)

Mặt phẳng \((ACC’A’)\) cắt hai mặt phẳng song song \((ABB’A’)\) và \((CDD’C’)\) lần lượt tại \(AA’\) và \(CC’\) nên \(AA’ // CC’\)

Xét hình thang \(ACC’A’\) có \(OO’\) là đường trung bình nên ta có:

\(AA’ + CC’ = 2 OO’\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

\(AA’ + CC’ = BB’ + DD’\)

\(\)

Bài \(2\). Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình bình hành có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(SA, SD\).
\(a)\) Chứng minh rằng \((OMN) // (SBC)\).
\(b)\) Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\) và \(F\) là một điểm thuộc \(ON\). Chứng minh \(EF\) song song với \((SBC)\).

Trả lời:

\(a)\) Xét tam giác \(SBD\) có \(ON\) là đường trung bình nên \(ON // SB\).

Mà \(SB \subset (SBC)\). Suy ra \(ON // (SBC)\)

Xét tam giác \(SAD\) có \(MN\) là đường trung bình nên \(MN // AD\). Mà \(AD // BC\). Suy ra \(MN // BC\)

Lại có \(BC \subset (SBC)\)

\(\Rightarrow MN // (SBC)\).

Mặt phẳng \((OMN)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(ON\) và \(MN\) cùng song song với mặt phẳng \((SBC)\).

Do đó, \((OMN) // (SBC)\)

\(b)\) Xét tam giác \(ABD\) có \(OE\) là đường trung bình nên \(OE // AD\).

\(\Rightarrow OE // (SBC)\)

\(\Rightarrow E \in (OMN)\)

Khi đó, \(EF \subset (OMN)\).

Mà \((OMN) // (SBC)\) nên \(EF // (SBC)\)

\(\)

Bài \(3\). Cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABEF\) ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo \(AC\) và \(BF\) lần lượt lấy các điểm \(M, N\) sao cho \(AM = BN\). Các đường thẳng song song với \(AB\) vẽ từ \(MN\) lần lượt cắt \(AD, AF\) tại \(M’, N’\).
\(a)\) Chứng minh \((CBE) // (ADF)\).
\(b)\) Chứng minh \((DEF) // (MNN’M’)\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(BC // AD\) nên \(BC // (SAD)\)

\(BE // AF\) nên \(BE // (SAD)\)

Mặt phẳng \((CBE)\) chứa hai đường thẳng \(BC\) và \(BE\) cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng \((SAD)\) nên \((CBE) // (SAD)\)

\(b)\) Do \(ABCD\) và \(ABEF\) là hai hình vuông có cạnh bằng nhau nên hai đường chéo bằng nhau \(AC = BF\)

Xét tam giác \(ACD\) có \(MM’ // CD\) (cùng song song với \(AB\)) nên:

\(\displaystyle \frac{AM’}{AD} = \displaystyle \frac{AM}{AC}\)

Xét tam giác \(ABF\) có \(NN’ // AB\) nên:\(\displaystyle \frac{AN’}{AF} = \displaystyle \frac{BN}{BF}\)

Mà \(AM = BN, AC = BF\) suy ra:

\(\displaystyle \frac{AM’}{AD} = \displaystyle \frac{AN’}{AF}\)

\(\Rightarrow M’N’ // DF\)

\(\Rightarrow M’N’ // (DEF)\)

Lại có \(MM’ // AB // EF\) suy ra \(MM’ // (DEF)\)

Mặt phẳng \((MNN’M’)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(MM’\) và \(M’M’\) cùng song song với \((DEF)\)

Vì vậy, \((MNN’M’) // (DEF)\)

\(\)

Bài \(4\). Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). Gọi \(G_1\) và \(G_2\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(BDA’\) và \(B’D’C\). Chứng minh \(G_1\) và \(G_2\) chia đoạn \(AC’\) thành ba phần bằng nhau.

Trả lời:

Gọi \(O, O’, I\) lần lượt là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(A’C’\) và \(B’D’\), \(AC’\) và \(A’C\).

Ta có \(ACC’A’\) là hình bình hành nên \(I\) là trung điểm của \(A’C\).

\(G_1\) là trọng tâm của tam giác \(BDA’\) suy ra:

\(\displaystyle \frac{A’G_1}{AO} = \displaystyle \frac{2}{3}\).

Xét tam giác \(ACA’\) có \(A’O\) là trung tuyến đồng thời có \(\displaystyle \frac{A’G_1}{AO} = \displaystyle \frac{2}{3}\) nên \(G_1\) là trọng tâm tam giác \(ACA’\)

Suy ra: \(\displaystyle \frac{AG_1}{AI} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

Mà \(AI = IC’ = \displaystyle \frac{1}{2}AC’\)

\(\Rightarrow AG_1 = \displaystyle \frac{1}{3}AC’\)

Chứng minh tương tự, ta được \(C’G_2 = \displaystyle \frac{1}{3}AC’\)

Suy ra \(AG_1 = G_1G_2 = C’G_2 = \displaystyle \frac{1}{3}AC’\)

Hay \(G_1, G_2\) chia đoạn \(AC’\) thành ba phần bằng nhau.

\(\)

Bài \(5\). Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lục giác \(ABCDEF.A’B’C’D’E’F’\). Bình gắn hai thanh tre \(A_1D_1, F_1C_1\) song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại \(O_1\) (Hình \(19\)).
\(a)\) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((A_1D_1, F_1C_1)\) với các mặt bên của lăng trụ.
\(b)\) Cho biết \(A’A_1 = 6AA_1\) và \(AA’ = 70\) cm. Tính \(CC_1\) và \(C_1C’\).

Trả lời:

\(a)\) Mặt phẳng \((A_1C_1D_1F_1)\) chứa hai đường thẳng \(A_1D_1\) và \(C_1F_1\) cắt nhau cùng song song với mặt phẳng đáy \((ABCDEF)\) nên \((A_1C_1D_1F_1) // (ABCDEF)\)

Trong mặt phẳng \((ABB’A’)\), qua \(A_1\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(BB’\) tại \(B_1\)

Trong mặt phẳng \((DEE’D’)\), qua \(D_1\) kẻ đường thẳng song song với \(DE\), cắt \(EE’\) tại \(E_1\)

Khi đó ta có giao tuyến của mặt phẳng \(A_1C_1D_1F_1)\) với các mặt bên của lăng trụ lần lượt là: \(A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1E_1, E_1F_1, F_1A_1\).

\(b)\) Ta có: \(A’A_1 + A_1A = AA’\)

Mà \(A’A_1 = 6 AA_1, AA’ = 70\)

Suy ra \(AA_1 = 10, A’A_1 = 60\).

Mặt phẳng \((ACC’A’)\) cắt hai mặt phẳng song song \((ABCDEF)\) và \((A_1B_1C_1D_1E_1F_1)\) lần lượt tại \(AC\) và \(A_1C_1\) nên \(AC // A_1C_1\)

Lại có \(AA_1 // CC_1\) nên tứ giác \(ACC_1A_1\) là hình bình hành.

Suy ra \(CC_1 = AA_1 = 10\)

Mà \(AA’ = CC’ = 70\)

\(\Rightarrow C_1C’ = CC’ \ – \ CC_1 = 70 \ – \ 10 = 60\)

\(\)

Bài \(6\). Chỉ ra các mặt phẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các mặt phẳng song song trong thực tế.

Trả lời:

Hình \(a)\): Các mặt tấm pin năng lượng mặt trời song song với nhau.

Hình \(b)\): Các mặt của các tòa nhà song song với nhau.

Một số ví dụ về các mặt phẳng song song trong thực tế: Mặt phẳng của các bức tường đối diện với nhau, mặt phẳng của các bậc cầu thang, mặt phẳng của các kệ sách…

Xem bài giải trước: Bài 3 – Đường thẳng và mặt phẳng song song
Xem bài giải tiếp theo: Bài 5 – Phép chiếu song song
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech