Bài \(3\). Hàm số liên tục trang \(80\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Xét tính liên tục của hàm số:
\(a)\) \(f(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x^2 + 1 \quad \text{ khi } x \neq 0\\1 \ – \ x \quad \text{ khi } x < 0 \end{array} \right.\end{equation}\) tại điểm \(x = 0\).
\(b)\) \(f(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} x^2 + 2 \quad \text{ khi } x \geq 1\\x \quad \text{ khi } x < 1 \end{array} \right.\end{equation}\) tại điểm \(x = 1\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (1 \ – \ x) = 1 \ – \ 0 = 1\)
\(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1\)
Suy ra \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\)
Vậy hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \(x = 0\)
\(b)\) \(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} x = 1\)
\(\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits{x \to 1^+} (x^2 + 2) = 1^2 + 2 = 3\)
Ta thấy \(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim\limits_{x \to 1^+} f(x)\)
Suy ra không tồn tại \(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)
Vậy hàm số \(y = f(x)\) không liên tục tại \(x = 1\)
\(\)
Bài \(2\). Cho hàm số \(f(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}\displaystyle \frac{x^2 \ – \ 4}{x + 2} \quad \text{ khi } x \neq \ – \ 2\\a \quad \quad \quad \text{ khi } x = \ – \ 2 \end{array} \right.\end{equation}\).
Tìm \(a\) để hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Trả lời:
Ta có: \(\lim\limits_{x \to \ – \ 2} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to \ – \ 2} \frac{x^2 \ – \ 4}{x + 2} = \displaystyle \lim_{x \to \ – \ 2} \frac{(x \ – \ 2)(x + 2)}{x + 2}\)
\(= \lim\limits_{x \to \ – \ 2} (x \ – \ 2) = \ – \ 2 \ – \ 2 = \ – \ 4\)
Lại có \(f(\ – \ 2) = a\)
Hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x_0 = 2\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x \to \ – \ 2}f(x) = f(\ – \ 2)\)
\(\Leftrightarrow a = \ – \ 4\)
Vậy với \(a = \ – \ 4\) thì hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
\(\)
Bài \(3\). Xét tính liên tục của các hàm số sau:
\(a)\) \(f(x) = \displaystyle \frac{x}{x^2 \ – \ 4}\);
\(b)\) \(g(x) = \sqrt{9 \ – \ x^2}\);
\(c)\) \(h(x) = \cos{x} + \tan{x}\).
Trả lời:
\(a)\) Hàm số \(f(x) = \displaystyle \frac{x}{x^2 \ – \ 4}\) là hàm số phân thức, có tập xác định \((\ – \ \infty; \ – \ 2) \cup (\ – \ 2; 2) \cup (2; +\infty)\) nên hàm số \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 2), (\ – \ 2; 2) \text{ và } (2; +\infty)\)
\(b)\) Hàm số \(g(x) = \sqrt{9 \ – \ x^2}\) là hàm số căn thức có tập xác định là \([\ – \ 3; 3]\) nên hàm số \(g(x)\) liên tục trên đoạn \([\ – \ 3; 3]\)
\(c)\) Hàm số \(h(x) = \cos{x} + \tan{x}\) là hàm số lượng giác có tập xác định là \(\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi \right\}\) nên hàm số \(h(x)\) liên tục trên các khoảng \(\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi \right\}\)
\(\)
Bài \(4\). Cho hàm số \(f(x) = 2x \ – \ \sin{x}, g(x) = \sqrt{x \ – \ 1}\).
Xét tính liên tục của hàm số \(y = f(x). g(x)\) và \(y = \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\).
Trả lời:
Ta có: Hàm số \(f(x) = 2x \ – \ \sin{x}\) liên tục với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Hàm số \(g(x) = \sqrt{x \ – \ 1}\) liên tục trên khoảng \([1; +\infty)\).
Suy ra hàm số \(y = f(x). g(x)\) liên tục trên khoảng \([1; +\infty)\)
Hàm số \(g(x) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1\)
Kết hợp lại ta được, hàm số \(y = \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\) liên tục trên khoảng \((1; +\infty)\)
\(\)
Bài \(5\). Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá \(C(x)\) đồng khi thời gian đậu xe là \(x\) giờ như sau:
\(C(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}60000 \text{ khi } 0 < x \leq 2;\\100000 \text{ khi } 2 < x \leq 4;\\200000 \text{ khi } 4 < x \leq 24.\end{array} \right.\end{equation}\).
Xét tính liên tục của hàm số \(C(x)\).
Trả lời:
Ta có: \(C(x) = 60000\) khi \(x \in (0; 2)\) nên hàm số \(C(x)\) liên tục trên \((0; 2)\).
\(C(x) = 100000\) khi \(x \in (2; 4)\) nên hàm số \(C(x)\) liên tục trên \((2; 4)\).
\(C(x) = 200000\) khi \(x \in (4; 24)\) nên hàm số \(C(x)\) liên tục trên \((4; 24)\)
Xét: \(\lim\limits_{x \to 2^-} C(x) = 60000\)
\(\lim\limits_{x \to 2^+} C(x) = 100000\)
Suy ra không tồn tại \(\lim\limits_{x \to 2} C(x)\) hay hàm số \(C(x)\) không liên tục tại \(2\).
Xét: \(\lim\limits_{x \to 4^-} C(x) = 100000\)
\(\lim\limits_{x \to 4^+} C(x) = 200000\)
Suy ra không tồn tại \(\lim\limits_{x \to 4} C(x)\) hay hàm số \(C(x)\) không liên tục tại \(4\).
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng \((0; 2), (2; 4) \text{ và } (4; 24)\)
\(\)
Bài \(6\). Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách \(r\) tính từ tâm của nó là
\(F(r) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}\displaystyle \frac{GMr}{R^3} \text{ khi } 0 < r < R\\\displaystyle \frac{GM}{r^2} \text{ khi } r \geq R, \end{array} \right.\end{equation}\) trong đó \(M\) là khối lượng, \(R\) là bán kính của Trái Đát, \(G\) là hằng số hấp dẫn. Hàm số \(F(r)\) có liên tục trên \((0; +\infty)\) không?
Trả lời:
Ta có: \(F(r) = \displaystyle \frac{GMr}{R^3}\) khi \(0 < r < R\) nên hàm số \(F(r)\) liên tục trên \((0; R)\)
\(F(r) = \displaystyle \frac{GM}{r^2}\) khi \(r > R\) nên hàm số liên tục trên \((R; +\infty)\)
Xét \(\lim\limits_{r \to R^-} F(r) = \displaystyle \lim_{r \to R^-} \frac{GMr}{R^3} = \displaystyle \frac{GMR}{R^3} = \displaystyle \frac{GM}{R^2}\)
\(\lim\limits_{r \to R^+} F(r) = \displaystyle \lim_{r \to R^+} \frac{GM}{r^2} = \displaystyle \frac{GM}{R^2}\)
Suy ra: \(\lim\limits_{r \to R} F(r) = F(R) = \displaystyle \frac{GM}{R^2}\) Hay hàm số \(F(r)\) liên tục tại \(r_0 = R\)
Vậy hàm số \(F(r)\) liên tục trên \((0; +\infty)\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 2 – Giới hạn của hàm số
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương III
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.