Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài \(1\). Giới hạn của dãy số trang \(64\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Tìm các giới hạn sau:
\(a)\) \(\lim{\displaystyle \frac{\ – \ 2n + 1}{n}}\);
\(b)\) \(\lim{\displaystyle \frac{\sqrt{16n^2 \ – \ 2}}{n}}\);
\(c)\) \(\lim{\displaystyle \frac{4}{2n + 1}}\);
\(d)\) \(\lim{\displaystyle \frac{n^2 \ – \ 2n + 3}{2n^2}}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\lim{\displaystyle \frac{\ – \ 2n + 1}{n}} = \lim{\left(\ – \ 2 + \displaystyle \frac{1}{n}\right)}\)

\(= \lim{(\ – \ 2)} + \lim{\displaystyle \frac{1}{n}} = \ – \ 2 + 0 = \ – \ 2\)

\(b)\) \(\lim{\displaystyle \frac{\sqrt{16n^2 \ – \ 2}}{n}} = \lim{\sqrt{\displaystyle \frac{16n^2 \ – \ 2}{n^2}}}\)

\( = \sqrt{\lim{\left(16 \ – \ \displaystyle \frac{2}{n^2}\right)}} = \sqrt{\lim{16} \ – \ \lim{\displaystyle \frac{2}{n^2}}}\)

\( = \sqrt{16 \ – \ 0} = 4\)

\(c)\) \(\lim{\displaystyle \frac{4}{2n + 1}} = \lim{\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{n}}{\displaystyle \frac{2n + 1}{n}}}\)

\(= \lim{\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{n}}{2 + \displaystyle \frac{1}{n}}} = \displaystyle \frac{0}{2 + 0} = 2\)

\(d)\) \(\lim{\displaystyle \frac{n^2 \ – \ 2n + 3}{2n^2}} = \lim{\left(\displaystyle \frac{1}{2} \ – \ \displaystyle \frac{1}{n} + \displaystyle \frac{3}{2n^2}\right)}\)

\(= \lim{\displaystyle \frac{1}{2}} \ – \ \lim{\displaystyle \frac{1}{n}} + \lim{\displaystyle \frac{3}{2n^2}} = \displaystyle \frac{1}{2} \ – \ 0 + 0 = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\)

Bài \(2\). Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
\(a)\) \(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{1}{4} \ – \ \displaystyle \frac{1}{8} + … + \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\right)^n + …;\)
\(b)\) \(\displaystyle \frac{1}{4} + \displaystyle \frac{1}{16} + \displaystyle \frac{1}{64} + … + \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^n + …;\)

Trả lời:

\(a)\) \(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{1}{4} \ – \ \displaystyle \frac{1}{8} + … + \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\right)^n + … = \displaystyle \frac{\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}}\)

\(= \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\)

\(b)\) \(\displaystyle \frac{1}{4} + \displaystyle \frac{1}{16} + \displaystyle \frac{1}{64} + … + \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^n + … = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{4}}\)

\(= \displaystyle \frac{1}{3}\)

\(\)

Bài \(3\). Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn \(0,444…\) dưới dạng một phân số.

Trả lời:

Ta có: \(0,444… = 0,4 + 0,04 + 0,004 + … \)

\(= 0,4 + 0,4. \displaystyle \frac{1}{10} + 0,4. \displaystyle \frac{1}{10^2} + …\)

Vậy số \(0,444…\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng \(0,4\) và công bội bằng \(\displaystyle \frac{1}{10}\)

Do đó, \(0,444 = \displaystyle \frac{0,4}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{10}} = \displaystyle \frac{4}{9}\)

\(\)

Bài \(4\). Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng \(1\) (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình \(5\)).
\(a)\) Kí hiệu \(a_n\) là diện tích của hình vuông thứ \(n\) và \(S_n\) là tổng diện tích của \(n\) hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính \(a_n, S_n\) (\(n = 1, 2; 3, …\)) và tìm \(\lim{S_n}\) (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).
\(b)\) Kí hiệu \(p_n\) là chu vi của hình vuông thứ \(n\) và \(Q_n\) là tổng chu vi của \(n\) hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính \(p_n, Q_n\) (\(n = 1, 2; 3, …\)) và tìm \(\lim{Q_n}\) (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

Trả lời:

\(a)\) Ta có cạnh hình vuông đầu tiên bằng \(1\)

Suy ra cạnh hình vuông thứ hai là \(\sqrt{\displaystyle \frac{1}{2^2} + \displaystyle \frac{1}{2^2}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Cạnh hình vuông thứ ba là \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

Tương tự ta có cạnh hình vuông thứ \(n\) là \(\left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n \ – \ 1}\)

Khi đó, cạnh của các hình vuông lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là \(1\) và công bội \(q = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow a_n = \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2(n \ – \ 1)} = \displaystyle \frac{1}{2^{n \ – \ 1}}\)

Suy ra \(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n \)

\(= 1 + \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{1}{2^2} + … + \displaystyle \frac{1}{2^{n \ – \ 1}}\)

\(\Rightarrow \lim{S_n} = \displaystyle \frac{1}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}} = 2\)

\(b)\) Ta có \(p_n = 4. \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n \ – \ 1}\).

\(Q_n = 4 + 4. \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + 4. \displaystyle \frac{1}{(\sqrt{2})^2} + … + 4. \displaystyle \frac{1}{(\sqrt{2})^{n \ – \ 1}}\)

\(\Rightarrow \lim{Q_n} = 4. \displaystyle \frac{1}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}} \approx 13,66\)

\(\)

Bài \(5\). Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng \(0\) như sau:
Bắt đầu bằng một hình vuông \(H_0\) cạnh bằng một đơn vị độ dài (xem Hình \(6a\)). Chia hình vuông \(H_0\) thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình \(H_1\) (xem Hình \(6b\)). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của \(H_1\) thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được Hình \(H_2\) (xem Hình \(6c\)). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình H_n (\(n = 1, 2, 3, …\)).

Ta có: \(H_1\) có \(5\) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\displaystyle \frac{1}{3}\).
\(H_2\) có \(5. 5 = 5^2\) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\displaystyle \frac{1}{3}. \displaystyle \frac{1}{3} = \displaystyle \frac{1}{3^2}; …\).
Từ đó nhận được \(H_n\) có \(5^n\) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\displaystyle \frac{1}{3^n}\).
\(a)\) Tính diện tích \(S_n\) của \(H_n\) và tính \(\lim{S_n}\).
\(b)\) Tính chu vi \(p_n\) của \(H_n\) và tính \(\lim{p_n}\).

Trả lời:

\(H_n\) có \(5^n\) hình vuông và mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\displaystyle \frac{1}{3^n}\) nên diện tích của mỗi hình vuông trong \(H_n\) là:

\(\displaystyle \frac{1}{3^{2n}}\)

Suy ra diện tích \(S_n\) của \(H_n\) là:

\(S_n = 5^n. \displaystyle \frac{1}{3^{2n}} = 5^n. \displaystyle \frac{1}{9^n} = \displaystyle \frac{5^n}{9^n} = \left(\displaystyle \frac{5}{9}\right)^n\)

Mà \(\displaystyle \frac{5}{9} < 1\) suy ra:

\(\lim{S_n} = \lim{\left(\displaystyle \frac{5}{9}\right)^n} = 0\)

\(b)\) \(H_n\) có \(5^n\) hình vuông và mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\displaystyle \frac{1}{3^n}\) nên chu vi của mỗi hình vuông trong \(H_n\) là:

\(4. \displaystyle \frac{1}{3^n}\)

Suy ra chu vi \(p_n\) của \(H_n\) là:

\(p_n = 5^n. 4. \displaystyle \frac{1}{3^n} = 4. \left(\displaystyle \frac{5}{3}\right)^n\)

\(\lim{p_n} = \lim{4. \left(\displaystyle \frac{5}{3}\right)^n} = +\infty\)

Xem bài giải trước: Bài tập cuối chương II
Xem bài giải tiếp theo: Bài 2 – Giới hạn của hàm số
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech