Bài tập cuối chương II

Bài tập cuối chương \(II\) trang \(61\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng.

Bài \(1\). Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \displaystyle \frac{n}{3^n \ – \ 1}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy \((u_n)\) lần lượt là
\(A.\) \(\displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{1}{4}; \displaystyle \frac{3}{27}\).
\(B.\) \(\displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{1}{4}; \displaystyle \frac{3}{26}\).
\(C.\) \(\displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{1}{4}; \displaystyle \frac{3}{25}\).
\(D.\) \(\displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{2}{3}; \displaystyle \frac{3}{28}\).

Trả lời:

Ta có: \(u_1 = \displaystyle \frac{1}{3^1 \ – \ 1} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(u_2 = \displaystyle \frac{2}{3^2 \ – \ 1} = \displaystyle \frac{1}{4}\)

\(u_3 = \displaystyle \frac{3}{3^3 \ – \ 1} = \displaystyle \frac{3}{26}\).

Chọn đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(2\). Cho dãy số: \(\displaystyle \frac{1}{3}; \displaystyle \frac{1}{3^2}; \displaystyle \frac{1}{3^3}; \displaystyle \frac{1}{3^4}; \displaystyle \frac{1}{3^5}; …\). Số hạng tổng quát của dãy số này là
\(A.\) \(u_n = \displaystyle \frac{1}{3}. \displaystyle \frac{1}{3^{n + 1}}\).
\(B.\) \(u_n = \displaystyle \frac{1}{3^{n + 1}}\).
\(C.\) \(u_n = \displaystyle \frac{1}{3^n}\).
\(D.\) \(u_n = \displaystyle \frac{1}{3^{n \ – \ 1}}\).

Trả lời:

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(3\). Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \displaystyle \frac{n + 1}{n + 2}\). Phát biểu nào sau đây đúng?
\(A.\) Dãy số tăng và bị chặn.
\(B.\) Dãy số giảm và bị chặn.
\(C.\) Dãy số giảm và bị chặn dưới.
\(D.\) Dãy số giảm và bị chặn trên.

Trả lời:

Ta có: \(\displaystyle \frac{n + 1}{n + 2} = \displaystyle \frac{n + 2 \ – \ 1}{n + 2} = 1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{n + 2}\)

\(\Rightarrow u_{n + 1} = 1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{n + 1 + 2} = 1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{n + 3}\)

Ta thấy với \(n \in \mathbb{N^*}\) thì \(n + 3 > n + 2\) nên \(\displaystyle \frac{1}{n + 3} < \displaystyle \frac{1}{n + 2}\)

Suy ra \(u_{n + 1} < u_n\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\) hay dãy số \(u_n\) là dãy số giảm.

Lại có: \(u_n = 1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{n + 2} < 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\)

Vậy dãy số \(u_n\) bị chặn trên.

\(u_n = 1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{n + 2} > \displaystyle \frac{1}{2}\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\)

Vậy dãy số \(u_n\) bị chặn dưới

\(\Rightarrow\) Dãy số \(u_n\) bị chặn.

Chọn đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(4\). Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1\), công sai \(d\). Khi đó, với \(n \geq 2\) ta có:
\(A.\) \(u_n = u_1 + d\).
\(B.\) \(u_n = u_1 + (n + 1)d\).
\(C.\) \(u_n = u_1 \ – \ (n \ – \ 1)d\).
\(D.\) \(u_n = u_1 + (n \ – \ 1)d\).

Trả lời:

Chọn đáp án \(D\)

\(\)

Bài \(5\). Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = 3\) và \(u_2 = \ – \ 1\). Khi đó
\(A.\) \(u_3 = 4\).
\(B.\) \(u_3 = 2\).
\(C.\) \(u_3 = \ – \ 5\)
\(D.\) \(u_3 = 7\).

Trả lời:

Ta có: \(\ – \ 1 = 3 + (\ – \ 4)\) nên cấp số cộng \(u_n\) có công sai \(d = \ – \ 4\)

Suy ra \(u_3 = u_2 + d = \ – \ 1 + (\ – \ 4) = \ – \ 5\)

Chọn đáp án \(C\)

\(\)

Bài \(6\). Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = \ – \ 1\) và công sai \(d = 3\). Khi đó \(S_5\) bằng
\(A.\) \(11\)
\(B.\) \(50\)
\(C.\) \(10\)
\(D.\) \(25\).

Trả lời:

Ta có: \(S_5 = \displaystyle \frac{5 [2. (\ – \ 1) + (5 \ – \ 1). 3]}{2} = 25\)

Chọn đáp án \(D\)

\(\)

Bài \(7\). Có bao nhiêu số thực \(x\) để \(2x \ – \ 1; x; 2x + 1\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
\(A.\) \(1\).
\(B.\) \(2\).
\(C.\) \(3\).
\(D.\) \(4\).

Trả lời:

\(2x \ – \ 1; x; 2x + 1\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:

\(\displaystyle \frac{x}{2x \ – \ 1} = \displaystyle \frac{2x + 1}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2 = (2x \ – \ 1)(2x + 1)\)

\(\Leftrightarrow x^2 = 4x^2 \ – \ 1\)

\(\Leftrightarrow 3x^2 \ – \ 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{3}}{3}\)

Chọn đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(8\). Một tam giác có số đo các góc lập thành cấp số nhân có công bội \(q = 2\). Số đo các góc của tam giác đó lần lượt là
\(A.\) \(\displaystyle \frac{\pi}{6}; \displaystyle \frac{\pi}{3}; \displaystyle \frac{\pi}{2}\).
\(B.\) \(\displaystyle \frac{\pi}{5}; \displaystyle \frac{2\pi}{5}; \displaystyle \frac{4\pi}{5}\).
\(C.\) \(\displaystyle \frac{\pi}{6}; \displaystyle \frac{2\pi}{6}; \displaystyle \frac{4\pi}{6}\).
\(D.\) \(\displaystyle \frac{\pi}{7}; \displaystyle \frac{2\pi}{7}; \displaystyle \frac{4\pi}{7}\).

Trả lời:

Gọi số đo ba góc của tam giác đó lần lượt là: \(a, 2a, 4a\)

Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác ta có:

\(a + 2a + 4a = \pi\)

\(\Rightarrow a = \displaystyle \frac{\pi}{7}\)

Vậy ba góc của tam giác đó là \(\displaystyle \frac{\pi}{7}, \displaystyle \frac{2\pi}{7}, \displaystyle \frac{4\pi}{7}\).

Chọn đáp án \(D\)

\(\)

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài \(9\). Xét tính tăng, giảm của dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \displaystyle \frac{3^n \ – \ 1}{2^n}\).

Trả lời:

Ta có: \(u_n= \displaystyle \frac{3^n \ – \ 1}{2^n} = \left(\displaystyle \frac{3}{2}\right)^n \ – \ \displaystyle \frac{1}{2^n}\)

Suy ra \(u_{n + 1} = \left(\displaystyle \frac{3}{2}\right)^{n + 1} \ – \ \displaystyle \frac{1}{2^{n + 1}} > \left(\displaystyle \frac{3}{2}\right)^n \ – \ \displaystyle \frac{1}{2^n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\)

Vậy dãy số \(u_n\) là dãy số tăng

\(\)

Bài \(10\). Xét tính bị chặn của dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \displaystyle \frac{2n + 1}{n + 2}\).

Trả lời:

Ta có: \(u_n = \displaystyle \frac{2n + 1}{n + 2} = 2 \ – \ \displaystyle \frac{3}{n + 2}\)

Ta thấy \(u_n < 2\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\) nên dãy số \(u_n\) bị chặn trên.

\(u_n > 2 \ – \ \displaystyle \frac{3}{2} = \displaystyle \frac{1}{2}\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\) nên dãy số \(u_n\) bị chặn dưới.

Vậy dãy số \(u_n\) bị chặn.

\(\)

Bài \(11\). Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của cấp số cộng \((u_n)\), biết:
\(a)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}5u_1 + 10u_5 = 0\\S_4 = 14 \end{array} \right.\end{equation}\).
\(b)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_7 + u_{15} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \end{array} \right.\end{equation}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\begin{equation}\left\{\begin{array}{II}5u_1 + 10u_5 = 0\\S_4 = 14 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}5u_1 + 10(u_1 + 4d)= 0\\ \displaystyle \frac{4. ( 2u_1 + 3d)}{2} = 14 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}15u_1 + 40d = 0\\2u_1 + 3d = 7 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}u_1 = 8\\d = \ – \ 3 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(b)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_7 + u_{15} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_1 + 6d + u_1 + 14d = 60\\(u_1 + 3d)^2 + (u_1 + 11d)^2 = 1170 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}2u_1 + 20d = 60\\(u_1 + 3d)^2 + (u_1 + 11d)^2 = 1170 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_1= 30 \ – \ 10d (1) \\(u_1 + 3d)^2 + (u_1 + 11d)^2 = 1170 (2) \end{array} \right.\end{equation}\)

Thay \((1)\) vào \((2)\) ta được:

\((30 \ – \ 10d + 3d)^2 + (30 \ – \ 10d + 11d)^2 = 1170\)

\(\Leftrightarrow (30 \ – \ 7d)^2 + (30 + d)^2 = 1170\)

\(\Leftrightarrow 900 \ – \ 420d + 49d^2 + 900 + 60d + d^2 = 1170\)

\(\Leftrightarrow 50d^2 \ – \ 360d + 630 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}d = 3\\d = \displaystyle \frac{21}{5} \end{matrix} \right.\)

Với \(d = 3\) thì \(u_1 = 30 \ – \ 10. 3 = 0\)

Với \(d = \displaystyle \frac{21}{5}\) thì \(u_1 = 30 \ – \ 10. \displaystyle \frac{21}{5} = \ – \ 12\)

Vậy \(u_1 = 0, d = 3\) hoặc \(u_1 = \ – \ 12, d = \displaystyle \frac{21}{5}\)

\(\)

Bài \(12\). Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) của cấp số nhân \((u_n)\), biết:
\(a)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_5 = 96\\u_6 = 192 \end{array} \right.\end{equation}\).
\(b)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}u_4 + u_2 = 72\\u_5 \ – \ u_3 = 144 \end{array} \right.\end{equation}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_5 = 96\\u_6 = 192 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_1. q^4 = 96\\u_1. q^5 = 192 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q = 2\\u_1 = 6 \end{matrix} \right.\)

\(b)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_4 + u_2 = 72\\u_5 + u_3 = 144 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_1. q^3 + u_1. q = 72\\u_1. q^4 + u_1. q^2 = 144 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left \{\begin{array}{II}u_1q(q^2 + 1) = 72\\u_1q^2(q^2 + 1) = 144 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left \{\begin{array}{II}q = 2\\u_1q(q^2 + 1) = 72 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left \{\begin{array}{II} q = 2\\u_1 = 7,2 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\)

Bài \(13\). Giả sử một quần thể động vật ở thời điểm ban đầu có \(110 000\) cá thể, quần thể này có tỉ lệ sinh là \(12 \%\) /năm, xuất cư là \(2 \%\)/năm, tử vong là \(8\%\)/năm. Dự đoán số cá thể của quần thể đó sau hai năm.

Trả lời:

Số cá thể của quần thể đó sau mỗi năm tạo thành một cấp số nhân với công bội:

\(q = 1 + 12\% \ – \ 2\% \ – \ 8% = 1 + 0,12 \ – \ 0,02 \ – \ 0,08 = 1,02\)

Vậy số cá thể của quần thể đó sau \(2\) năm là:

\(110000. 1,02^2 = 114444\) (cá thể)

\(\)

Bài \(14\). Một cây đàn organ có tần số âm thanh các phím liên tiếp tạo thành một cấp số nhân. Cho biết tần số phím La Trung là \(400\) Hz và tần số của phím La Cao cao hơn \(12\) phím là \(800\) Hz (nguồn http://vi.wikipedia.org/wiki/Organ). Tìm công bội của cấp số nhân nói trên (Làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Trả lời:

Ta có \(u_1 = 400\)

\(\Rightarrow u_12 = 800 = 400. q^12\)

\(\Rightarrow q^12 = \displaystyle \frac{800}{400} = 2\)

\(\Rightarrow q \approx 1,06\)

\(\)

Bài \(15\). Dân số Việt Nam năm \(2020\) là khoảng \(97,6\) triệu người (theo Niên giám thống kê năm \(2020\)). Nếu trung bình mỗi năm tăng \(1,14%\) thì ước tính dân số Việt Nam năm \(2040\) là khoảng bao nhiêu người (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm nghìn)?

Trả lời:

Dân số Việt Nam mỗi năm kể từ năm \(2020\) lập thành cấp số nhân với công bội \(q = 1 + 1,14\% = 1, 0114\).

Ta có \(u_{2020} = 97,6\)

Suy ra \(u_{2040} = 97,6. 1,0114^{2040 \ – \ 2020} = 122,4\) (triệu người)

Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II

Xem bài giải trước: Bài 3 – Cấp số nhân
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Giới hạn của dãy số
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech