Bài \(2\). Cấp số cộng trang \(52\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: \(1; \ – \ 3; \ – \ 7; \ – \ 11; \ – \ 15\).
Trả lời:
Ta thấy: \( \ – \ 3 = 1 + (\ – \ 4); \ – \ 7 = \ – \ 3 + (\ – \ 4);\)
\(\ – \ 11 = \ – \ 7 + (\ – \ 4); \ – \ 15 = \ – \ 11 + (\ – \ 4)\)
Hay công thức tổng quát là: \(u_{n + 1} = u_n + (\ – \ 4)\)
Vậy dãy số trên là cấp số cộng với công sai \(d = \ – \ 4\)
\(\)
Bài \(2\). Cho \((u_n)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 4\) và công sai \(d = \ – \ 10\). Viết công thức số hạng tổng quát \(u_n\).
Trả lời:
Công thức số hạng tổng quát là:
\(u_n = u_1 + (n \ – \ 1). d = 4 + (n \ – \ 1). (\ – \ 10)\)
\(= 4 \ – \ 10(n \ – \ 1)\)
\(\)
Bài \(3\). Cho cấp số cộng \(u_n\) có số hạng đầu \(u_1 = \ – \ 3\) và công sai \(d = 2\).
\(a)\) Tìm \(u_{12}\).
\(b)\) Số \(195\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?
Trả lời:
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(u_n = u_1 + (n \ – \ 1). d = \ – \ 3 + 2. (n \ – \ 1) = 2n \ – \ 5\)
\(a)\) \(u_{12} = 2. 12 \ – \ 5 = 19\)
\(b)\) Ta có: \(195 = 2n \ – \ 5\)
\(\Rightarrow n = 100\)
Vậy số \(195\) là số hạng thứ \(100\) của cấp số cộng đó.
\(\)
Bài \(4\). Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
\(a)\) \(u_n = 3 \ – \ 4n\);
\(b)\) \(u_n = \displaystyle \frac{n}{2} \ – \ 4\);
\(c)\) \(u_n = 5^n\);
\(d)\) \(u_n = \displaystyle \frac{9 \ – \ 5n}{3}\).
Trả lời:
\(a)\) \(u_n = 3 \ – \ 4n = \ – \ 1 \ – \ 4. (n \ – \ 1)\)
Vậy dãy số trên là cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = \ – \ 1\) và công sai \(d = \ – \ 4\)
\(b)\) \(u_n = \displaystyle \frac{n}{2} \ – \ 4 = \ – \ \displaystyle \frac{7}{2} + (n \ – \ 1). \displaystyle \frac{1}{2}\)
Vậy số trên là cấp số cộng với số hạng đầu là \(u_1 = \ – \ \displaystyle \frac{7}{2}\) và công sai \(d = \displaystyle \frac{1}{2}\).
\(c)\) \(u_n = 5^n\)
Dãy số trên không phải cấp số cộng.
\(d)\) \(u_n = \displaystyle \frac{9 \ – \ 5n}{3} = \displaystyle \frac{4}{3} \ – \ \displaystyle \frac{5}{3}(n \ – \ 1)\)
Vậy dãy số trên là cấp số cộng với số hạng đầu \(\displaystyle \frac{4}{3}\) và công sai \(d = \ – \ \displaystyle \frac{5}{3}\)
\(\)
Bài \(5\). Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng \((u_n)\), biết:
\(a)\) \(\begin{equation}\left\{\begin{array}{II}u_3 \ – \ u_1 = 20\\u_2 + u_5 = 54 \end{array} \right. \end{equation}\);
\(b)\) \(\begin{equation}\left\{\begin{array}{II}u_2 + u_3 = 0\\u_2 + u_5 = 80 \end{array}\right.\end{equation}\);
\(c)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_5 \ – \ u_2 = 3\\u_8. u_3 = 24 \end{array} \right.\end{equation}\).
Trả lời:
\(a)\) \(\begin{equation}\left\{\begin{array}{II}u_3 \ – \ u_1 = 20\\u_2 + u_5 = 54 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}u_1 + 2. d \ – \ u_1 = 20\\u_1 + d + u_1 + 4d = 54\end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}2d = 20\\2u_1 + 5d = 54 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}d = 10\\2u_1 + 5. 10 = 54 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}d = 10\\u_1 = 2 \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy cấp số cộng trên có số hạng đầu \(u_1 = 2\) và công sai \(d = 10\).
\(b)\) \(\begin{equation}\left\{\begin{array}{II}u_2 + u_3 = 0\\u_2 + u_5 = 80 \end{array}\right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}u_1 + d + u_1 + 2d = 0\\u_1 + d + u_1 + 4d = 80 \end{array}\right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II} 2u_1 + 3d = 0\\2u_1 + 5d = 80\end{array}\right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}2d = 80\\2u_1 + 3d = 0\end{array}\right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}d = 40\\2u_1 + 3. 40 = 0 \end{array}\right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II}d = 40\\u_1 = \ – \ 60 \end{array}\right.\end{equation}\)
Vậy cấp số cộng trên có số hạng đầu \(u_1 = \ – \ 60\) và công sai \(d = 40\).
\(c)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_5 \ – \ u_2 = 3\\u_8. u_3 = 24 \end{array}\right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II} u_1 + 4d \ – \ u_1 \ – \ d = 3\\(u_1 + 7d)(u_1 + 2d) = 24\end{array}\right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II} 3d = 3\\(u_1 + 7d)(u_1 + 2d) = 24\end{array}\right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation}\left\{\begin{array}{II} d = 1\\u_1 = 1\end{array}\right.\end{equation}\)
Vậy cấp số cộng trên có số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công sai \(d = 1\).
\(\)
Bài \(6\). Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là \(45\) cm, \(43\) cm, \(41\) cm,…, \(31\) cm.
\(a)\) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?
\(b)\) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.
Trả lời:
\(a)\) Chiều dài các thanh ngang lập thành dãy cấp số cộng có số hạng đầu là \(45\), số hạng cuối là \(31\), công sai là \(d = \ – \ 2\)
\(\Rightarrow\) Công thức tổng quát của cấp số cộng là:
\(u_n = 45 \ – \ 2.( n \ – \ 1)\).
Khi \(u_n = 31\) ta có:
\(31 = 45 \ – \ 2. (n \ – \ 1)\)
\(\Rightarrow n = 8\)
Vậy cái thang đó có \(8\) bậc.
\(b)\) Tổng số các số hạng của cấp số cộng đó là:
\(S_8 = \displaystyle \frac{(45 + 31). 8}{2} = 304\)
Vậy khi coi phần gỗ bị cắt thành mùn cưa là không đáng kể thì chiều dài thanh gỗ cần mua là \(304\) cm.
\(\)
Bài \(7\). Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: \(16; 48; 80; 112; 144;… \)(các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).
\(a)\) Tính công sai của cấp số cộng trên.
\(b)\) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong \(10\) giây đầu tiên.
Trả lời:
\(a)\) Công sai của cấp số cộng trên là:
\(d = 48 \ – \ 16 = 80 \ – \ 48 = …= 32\)
\(b)\) Ta có \(S_{10} = \displaystyle \frac{[2. 16 + (10 \ – \ 1). 32]}{2} = 1600\)
Vậy tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong \(10\) giây đầu tiên là \(1600\) feet.
\(\)
Bài \(8\). Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen \(A\) và \(B\) cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội \(A\) hay \(B\) thì chiều cao cây tăng thêm \(5\) cm. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gen \(aabb\) có chiều cao \(100\) cm. Hỏi cây cao nhất với kiểu gen \(AABB\) có chiều cao bao nhiêu?
Trả lời:
Cây cao nhất với kiểu gen \(AABB\) có chiều cao là:
\(100 + 4. 5 = 120\) (cm)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 1 – Dãy số
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3 – Cấp số nhân
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.