Bài 22. Ba đường conic

Bài \(22\). Ba đường conic trang \(48\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(7.19\). Cho elip có phương trình: \(\displaystyle \frac{x^2}{36} + \displaystyle \frac{y^2}{9} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Trả lời:

Ta có: \(a^2 = 36; b^2 = 9\)

Suy ra: \(c = \sqrt{a^2 \ – \ b^2} = \sqrt{36 \ – \ 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)

Do đó, elip có các tiêu điểm là \(F_1(\ – \ 3 \sqrt{3}; 0), F_2(3 \sqrt{3}; 0)\) và tiêu cự \(2c = 2. 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}\).

\(\)

Bài \(7.20\). Cho hypebol có phương trình: \(\displaystyle \frac{x^2}{7} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{9} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Trả lời:

Ta có: \(a^2 = 7, b^2 = 9\)

Suy ra \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4\)

Do đó, hypebol có các tiêu điểm là \(F_1(\ – \ 4; 0), F_2(4; 0)\) và tiêu cự \(2c = 2. 4 = 8\)

\(\)

Bài \(7.21\). Cho parabol có phương trình \(y^2 = 8x\). Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Trả lời:

Ta có: \(2p = 8\) nên \(p = 4\)

Suy ra \(\displaystyle \frac{p}{2} = \displaystyle \frac{4}{2} = 2\)

Vậy parabol có tiêu điểm \(F(2; 0)\) và đường chuẩn \(\Delta: x = \ – \ 2\).

\(\)

Bài \(7.22\). Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm \(A(5; 0)\) và có một tiêu điểm là \(F_2(3; 0)\).

Trả lời:

Gọi phương trình Elip có dạng: \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\) (với \(a > b > 0\))

Elip đi qua điểm \(A(5; 0)\) nên tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn phương trình elip. Ta có:

\(\displaystyle \frac{5^2}{a^2} + \displaystyle \frac{0^2}{y^2} = 1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{5^2}{a^2} = 1\)

\(\Leftrightarrow a^2 = 5^2\)

\(\Leftrightarrow a = 5\) (Do \(a > 0\))

Elip có \(1\) tiêu điểm \(F_2(3; 0)\) nên \(c = 3\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a^2 \ – \ b^2} = 3\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{25 \ – \ b^2} = 3\)

\(\Leftrightarrow b^2 = 16\)

\(\Leftrightarrow b = 4\) (Do \(b > 0\))

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là \(\displaystyle \frac{x^2}{25} + \displaystyle \frac{y^2}{16} = 1\)

\(\)

Bài \(7.23\). Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm \(M(2; 4)\).

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là \(y^2 = 2px\) (với \(p > 0\))

Vì parabol đi qua điểm \(M(2; 4)\) nên tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn phương trình parabol. Khi đó ta có:

\(4^2 = 2. p. 2\)

\(\Leftrightarrow 2p = 8\)

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là \(y^2 = 8x\)

\(\)

Bài \(7.24\). Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí \(A\) và \(B\) cách nhau \(300\) km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc \(292000\) km/s để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ \(A\) đến sớm hơn tín hiệu từ \(B\) là \(0,0005\) s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Trả lời:

Gọi \(M\) là vị trí tàu thu tín hiệu.

Gọi \(t_1, t_2\) lần lượt là thời gian truyền từ trạm phát \(A, B\) đến \(M\).

Theo bài ra ta có: \(t_2 \ – \ t_1 = 0,0005\) (s)

Suy ra:

\(MA \ – \ MB = v. t_1 \ – \ v. t_2 = v. (t_1 \ – \ t_2)\)

\(= 292000. (\ – \ 0,0005) = \ – \ 146\)(km)

Gọi \((H)\) là hypebol nhận \(A, B\) là hai tiêu điểm và đi qua điểm \(M\). Khi đó ta có:

\(\left \{\begin{matrix}2a = |MA \ – \ MB| = 146\\2c = AB = 300 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}a = 73\\c = 150 \end{matrix} \right.\)

Suy ra \(b^2 = c^2 \ – \ a^2 = 150^2 \ – \ 73^2 = 17171\)

Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là:

\(\displaystyle \frac{x^2}{5329} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{17171} = 1\)

\(\)

Bài \(7.25\). Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là \(A\), điểm cuối là \(B\), khoảng cách \(AB = 400\) m. Đỉnh parabol \((P)\) của khúc cua cách đường thẳng \(AB\) một khoảng \(20\) m và cách đều \(A, B. (H. 7. 34)\).
\(a)\) Lập phương trình chính tắc của \((P)\), với \(1\) đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng \(1\) m trên thực tế.
\(b)\) Lập phương trình chính tắc của \((P)\), với \(1\) đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng \(1\) km trên thực tế.