Bài tập cuối chương \(III\) trang \(44\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
\(A\) – TRẮC NGHIỆM
Bài \(3.12\). Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B} = 135^o\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(a)\) \(A. S = \displaystyle \frac{1}{2}ca.\)
\(B. S = \displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{2}}{4}ac.\)
\( C. S = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}bc.\)
\(D. S = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}ca\).
\(b)\) \(A. R = \displaystyle \frac{a}{\sin{A}}.\)
\(B. R = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}b.\)
\(C. R = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}c.\)
\(D. R = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}a\).
\(c)\) \(A. a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}ab.\)
\(B. \displaystyle \frac{b}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{a}{\sin{B}}.\)
\(C. \sin{B} = \displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{2}}{2}.\)
\(D. b^2 = c^2 + a^2 \ – \ 2ca\cos135^o\).
Trả lời:
\(a)\) Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}ac \sin{B}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}ac \sin135^o = \displaystyle \frac{1}{2}ac. \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(= \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}ac\)
Chọn đáp án \(D\).
\(b)\)Theo định lí \(\text{ sin }\) ta có:
\(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{b}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{c}{\sin{C}} = 2R\)
\(\Rightarrow R = \displaystyle \frac{a}{2\sin{A}}\)
Suy ra: \(A\) sai
\(R = \displaystyle \frac{b}{2\sin{B}} = \displaystyle \frac{b}{2\sin135^o} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}b\)
\(\Rightarrow B\) đúng
\(C\) sai vì chưa biết số đo góc \(\widehat{C}\)
\(D\) sai vì chưa biết số đo góc \(\widehat{A}\)
Chọn đáp án \(B\)
\(c)\) \(A\) sai vì ta có công thức đúng là:
\(a^2 = b^2 + c^2 \ – \ 2bc. \cos{A}\)
\(B\) sai vì công thức đúng là:
\(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{b}{\sin{B}}\)
\(C\) sai vì \(\sin{B} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(D\) đúng vì theo định lí \(\text{ côsin }\) ta có:
\(b^2 = a^2 + c^2 \ – \ 2ac \cos{B}\)
\(= a^2 + c^2 \ – \ 2ca \cos135^o\)
Chọn đáp án \(D\)
\(\)
Bài \(3.13\). Cho tam giác \(ABC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(a)\) \(A. S = \displaystyle \frac{abc}{4r}.\)
\(B. r = \displaystyle \frac{2S}{a + b + c}.\)
\(C. a^2 = b^2 + c^2 + 2bc\cos{A}.\)
\(D. S = r(a + b + c)\).
\(b)\) \(A. \sin{A} = \sin{(B + C)}.\)
\(B. \cos{A} = \cos{(B + C)}.\)
\(C. \cos{A} > 0.\)
\(D. \sin{A} \leq 0\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(S = \displaystyle \frac{abc}{4R}\)
Mà \(r \neq R\) nên \(\displaystyle \frac{abc}{4r} \neq \displaystyle \frac{abc}{4R}\)
Vậy \(A\) sai
Ta có: \(S = p.r\)
\(\Rightarrow r = \displaystyle \frac{S}{p}\)
Mà \(p = \displaystyle \frac{a + b + c}{2}\)
Suy ra \(r = \displaystyle \frac{2S}{abc}\)
Vậy \(B\) đúng
\(C\) sai vì công thức định lí \(\text{ côsin }\) là:
\(a^2 = b^2 + c^2 \ – \ 2bc \cos{A}\)
\(D\) sai vì ta có công thức tính diện tích \(S = p.r = r. \displaystyle \frac{a + b + c}{2}\)
Chọn đáp án \(B\).
\(b)\) Ta có: \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\)
\(\Rightarrow \widehat{A} = 180^o \ – \ (\widehat{B} + \widehat{C})\)
\(\Rightarrow \sin{A} = \sin{(B + C)}\)
Vậy \(A\) đúng
Ta có: \(\cos{A} = \ – \ \cos{(B + C)}\)
Vậy \(B\) sai
\(C\) sai vì không đủ dữ liệu để kết luận.
Vì \(0^o < \widehat{A} < 180^o\) nên \(\sin{A} > 0\)
Vậy \(D\) sai
Chọn đáp án \(A\)
\(\)
\(B\) – TỰ LUẬN
Bài \(3.14\). Tính giá trị của các biểu thức sau:
\(a)\) \(M = \sin45^o. \cos45^o + \sin30^o\);
\(b)\) \(N = \sin60^o. \cos30^o + \displaystyle \frac{1}{2}\sin45^o. \cos45^o\);
\(c)\) \(P = 1 + \tan^260^o\);
\(d)\) \(Q = \displaystyle \frac{1}{\sin^2120^o} \ – \ \cot^2120^o\).
Trả lời:
\(a)\) \(M = \sin45^o. \cos45^o + \sin30^o\)
\(= \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}. \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle \frac{1}{2} = \displaystyle \frac{2}{4} + \displaystyle \frac{1}{2} = 1\)
\(b)\) \(N = \sin60^o. \cos30^o + \displaystyle \frac{1}{2}\sin45^o. \cos45^o\)
\(= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle \frac{1}{2}. \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}. \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(= \displaystyle \frac{3}{4} + \displaystyle \frac{1}{4} = 1\)
\(c)\) \(P = 1 + \tan^260^o\)
\(= 1 + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 1 + 3 = 4\)
\(d)\) \(Q = \displaystyle \frac{1}{\sin^2120^o} \ – \ \cot^2120^o\)
\(= \displaystyle \frac{1}{\left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \ – \ \left(\displaystyle \frac{\ – \ 1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{3}{4}} \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\)
\(= \displaystyle \frac{4}{3} \ – \ \displaystyle \frac{1}{3} = 1\)
\(\)
Bài \(3.15\). Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B} = 60^o, \widehat{C} = 45^o, AC = 10\). Tính \(a, R, S, r\).
Trả lời:
Tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B} = 60^o, \widehat{C} = 45^o\)
\(\Rightarrow \widehat{A} = 180^o \ – \ (\widehat{B} + \widehat{C}) = 180^o \ – \ (60^o + 45^o)\)
\(\Rightarrow \widehat{A} = 75^o\)
- Theo định lí \(\text{ sin }\) ta có:
\(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{b}{\sin{B}} = 2R\)
\(\Rightarrow a = \displaystyle \frac{b \sin{A}}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{10. \sin75^o}{\sin60^o} \approx 11,154\)
- \(\Rightarrow R = \displaystyle \frac{b}{2\sin{B}} = \displaystyle \frac{10}{2 \sin60^o} = \displaystyle \frac{10}{2. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}} = \displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3}\)
- Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\(S = \displaystyle \frac{1}{2}ab \sin{C} \approx \displaystyle \frac{1}{2}. 11,154. 10. \sin45^o\)
\(\approx 39,44\)
- Lại có: \(\displaystyle \frac{c}{\sin{C}} = 2R\)
\(\Rightarrow c = 2R. \sin{C} = 2. \displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3}. \sin45^o\)
\(= 2. \displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3}. \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} = \displaystyle \frac{10\sqrt{6}}{3} \approx 8,165\)
Nửa chu vi \(p = \displaystyle \frac{a + b + c}{2} \approx \displaystyle \frac{11,154 + 10 + 8,165}{2} \approx 14,66\)
\(\Rightarrow r = \displaystyle \frac{S}{p} \approx \displaystyle \frac{39,44}{14,66} \approx 2,7\).
\(\)
Bài \(3.16\). Cho tam giác \(ABC\)có trung tuyến \(AM\). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(\cos{\widehat{AMB}} + \cos{\widehat{AMC}} = 0\);
\(b)\) \(MA^2 + MB^2 \ – \ AB^2 = 2MA. MB. \cos{\widehat{AMB}}\) và \(MA^2 + MC^2 \ – \ AC^2 = 2MA. MC. \cos{\widehat{AMC}}\);
\(c)\) \(MA^2 = \displaystyle \frac{2(AB^2 + AC^2) \ – \ BC^2}{4}\) (công thức đường trung tuyến).
Trả lời:
\(a)\) Ta có:
\(\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^o\)
\(\Rightarrow \widehat{AMC} = 180^o \ – \ \widehat{AMB}\)
Có: \(\cos{\widehat{AMB}} = \ – \ \cos{(180^o \ – \ \widehat{AMB})}\)
\(\Rightarrow \cos{AMB} = \ – \ \cos{AMC}\)
Hay \(\cos{AMB} + \cos{AMC} = 0\) (đpcm)
\(b)\) Áp dụng định lí \(\text{ côsin }\) trong tam giác \(AMB\) ta có:
\(AB^2 = MA^2 + MB^2 \ – \ 2. MA MB. \cos{\widehat{AMB}}\)
\(\Leftrightarrow MA^2 + MB^2 \ – \ AB^2 = 2MA. MB. \cos{\widehat{AMB}}\) \((1)\)(đpcm)
Tương tự, áp dụng định lí \(\text{ côsin }\) trong tam giác \(AMC\) ta cũng có:
\(AC^2 = MA^2 + MC^2 \ – \ 2MA. MC. \cos{\widehat{AMC}}\)
\(\Leftrightarrow MA^2 + MC^2 \ – \ AC^2 = 2MA. MC. \cos{\widehat{AMC}}\) \((2)\) (đpcm)
\(c)\) Cộng vế với vế của \((1)\) và \((2)\) ta được:
\(MA^2 + MB^2 \ – \ AB^2 + MA^2 + MC^2 \ – \ AC^2\)
\(= 2MA. MB. \cos{\widehat{AMB}} + 2MA.MC. \cos{\widehat{AMC}}\)
\(\Leftrightarrow 2MA^2 + \left(\displaystyle \frac{BC}{2}\right)^2 \ – \ AB^2 + \left(\displaystyle \frac{BC}{2}\right)^2 \ – \ AC^2\)
\(= 2MA. \displaystyle \frac{BC}{2}. \cos{\widehat{AMB}} + 2MA. \displaystyle \frac{BC}{2}. \cos{\widehat{AMC}}\)
\(\Leftrightarrow 2MA^2 + \displaystyle \frac{BC^2}{2} \ – \ AB^2 \ – \ AC^2\)
\(= 2MA. \displaystyle \frac{BC}{2}. (\cos{\widehat{AMB}} + \cos{\widehat{AMC}})\)
\(\Leftrightarrow 2MA^2 + \displaystyle \frac{BC^2}{2} \ – \ AB^2 \ – \ AC^2 = 0\) (vì \(\cos{\widehat{AMB}} + \cos{\widehat{AMC}} = 0\))
\(\Leftrightarrow 2MA^2 = \displaystyle \frac{2AB^2 + 2AC^2 \ – \ BC^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow MA^2 = \displaystyle \frac{2(AB^2 + AC^2) \ – \ BC^2}{4}\) (đpcm) (công thức đường trung tuyến).
\(\)
Bài \(3.17\). Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng:
\(a)\) Nếu góc \(A\) nhọn thì \(b^2 + c^2 > a^2\);
\(b)\) Nếu góc \(A\) tù thì \(b^2 + c^2 < a^2\);
\(c)\) Nếu góc \(A\) vuông thì \(b^2 + c^2 = a^2\).
Trả lời:
Xét tam giác \(ABC\):
Áp dụng định lí \(\text{ côsin }\) trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(a^2 = b^2 + c^2 \ – \ 2bc \cos{A}\)
\(a)\) Nếu góc \(A\) nhọn thì \(\cos{A} > 0\)
\(\Rightarrow 2bc \cos{A} > 0\)
\(\Rightarrow b^2 + c^2 \ – \ 2bc \cos{A} < b^2 +c^2\)
\(\Rightarrow a^2 < b^2 + c^2\)
Vậy góc \(A\) nhọn thì \(b^2 + c^2 > a^2\) (đpcm)
\(b)\) Nếu góc \(A\) tù thì \(\cos{A} < 0\)
\(\Rightarrow 2bc \cos{A} < 0\)
\(\Rightarrow b^2 + c^2 \ – \ 2bc \cos{A} > b^2 + c^2\)
\(\Rightarrow a^2 > b^2 + c^2\)
Vậy góc \(A\) tù thì \(b^2 + c^2 < a^2\) (đpcm)
\(c)\) Nếu góc \(A\) vuông thì \(\cos{A} = 0\)
Suy ra: \(a^2 = b^2 + c^2 \ – \ 2bc \cos{A} = b^2 + c^2\)
Vậy góc \(A\) vuông thì \(b^2 + c^2 = a^2\)
\(\)
Bài \(3.18\). Trên biển, tàu \(B\) ở vị trí cách tàu \(A\) \(53 km\) về hướng \(N34^oE\). Sau đó, tàu \(B\) chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn \(30 km/h\) về hướng đông và tàu \(A\) chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn \(50 km/h\) để đuổi kịp tàu \(B\).
\(a)\) Hỏi tàu \(A\) cần phải chuyển động theo hướng nào?
\(b)\) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu \(A\) đuổi kịp tàu \(B\).
Trả lời:
Gọi \(t\) (giây) là thời gian đi cho đến khi hai tàu gặp nhau tại \(C\)
Tàu \(B\) đi với vận tốc có độ lớn \(30\) km/h nên quãng đường tàu \(B\) đi được là \(BC = 30t\)
Tàu \(A\) đi với vận tốc có độ lớn \(50\) km/h nên quãng đường tàu \(A\) đi được là \(AC = 50t\)
Áp dụng định lí \(\text{ sin }\) trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\displaystyle \frac{BC}{\sin{\alpha}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{\widehat{B}}}\)
\(\Rightarrow \displaystyle \frac{30t}{\sin{\alpha}} = \displaystyle \frac{50t}{\sin124^o}\)
\(\Rightarrow \sin{\alpha} = \displaystyle \frac{30t \sin124^o}{50t} = \displaystyle \frac{30 \sin124^o}{50} \approx 0,4974\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix}\alpha \approx 30^o\\ \alpha \approx 150^o (\text{ Loại }) \end{matrix} \right.\)
Vậy tàu \(A\) chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu \(B\) góc \(30^o\) hay chuyển động theo hướng \(N(34 + 30)^oE = N64^oE\) để gặp tàu \(B\)
\(b)\) Tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A} = 30^o, \widehat{B} = 124^o\)
\(\Rightarrow \widehat{C} = 180^o \ – \ (30^o + 124^o) = 26^o\)
Áp dụng định lí \(\text{ sin }\) trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\displaystyle \frac{BC}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{AB}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \displaystyle \frac{30t}{\sin30^o} = \displaystyle \frac{53}{\sin26^o}\)
\(\Rightarrow 30t = \displaystyle \frac{53 \sin30^o}{\sin26^o} \approx 60,45\)
\(\Rightarrow t \approx 2\) giờ
Vậy sau khoảng \(2\) giờ thì tàu \(A\) đuổi kịp tàu \(B\)
\(\)
Bài \(3.19\). Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn \(1\) (First base), gôn \(2\) (Second base), gôn \(3\) (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài \(27,4 m\). Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn \(2\), và cách gôn Nhà \(18,44 m\). Tính khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn \(1\) và gôn \(3\).
Trả lời:
Gọi \(A, B, C, D, E\) lần lượt là các vị trí gôn Nhà, gôn \(1\), gôn \(2\), gôn \(3\) và vị trí ném bóng.
Ta có: \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(27,4 m\).
Suy ra đường chéo \(AC\) đồng thời là phân giác của góc \(\widehat{BAD}\)
\(\Rightarrow AC = 27,4\sqrt{2} \approx 38,75 m\) và \(\widehat{BAC} = \widehat{CAD} = 45^o\)
Áp dụng định lí \(\text{ côsin }\) trong tam giác \(AED\) ta có:
\( ED^2 = EA^2 + AD^2 \ – \ 2. EA. AD. \cos{\widehat{EAD}}\)
\(\Leftrightarrow ED^2 = 18,44^2 + 27,4^2 \ – \ 2. 18,44. 27,4. \cos45^o\)
\(\Leftrightarrow ED^2 \approx 376,25\)
\(\Leftrightarrow ED \approx 19,4\) m.
Xét \(\Delta EAB\) và \(\Delta EAD\) có:
\(\left. \begin{matrix} EA \text{ chung }\\\widehat{BAE} = \widehat{EAD} = 45^o\\AB = AD \end{matrix} \right\}\) \(\Rightarrow \Delta EAB \sim \Delta EAD\) (c – g – c)
Suy ra \(EB = ED \approx 19,4 m\)
Vậy khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới gôn \(1\) và gôn \(3\) bằng nhau và khoảng \(19,4 m\)
Bài tập cuối chương III Bài tập cuối chương III Bài tập cuối chương III Bài tập cuối chương III
Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-6-he-thuc-luong-trong-tam-giac/
Xem bài giải tiếp theo: https://bumbii.com/bai-7-cac-khai-niem-mo-dau/
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-bai-tap-sgk-toan-lop-10-nxb-ket-noi-tri-thuc-voi-cuoc-song/
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.