Bài \(4\). Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trang \(26\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
Bài \(2.4\). Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(a)\) \(\left \{\begin{matrix}x < 0\\y \geq 0 \end{matrix} \right.\);
\(b)\) \(\left \{\begin{matrix}x + y^2 < 0\\y \ – \ x > 1 \end{matrix} \right.\);
\(c)\) \(\left \{\begin{matrix}x + y + z < 0\\y < 0\ \end{matrix} \right.\);
\(d)\) \(\left \{\begin{matrix}\ – \ 2x + y < 3^2\\4^2x + 3y < 1 \end{matrix} \right.\).
Trả lời:
Ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Xét hệ \(\left \{\begin{matrix}x < 0\\y \geq 0 \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}x + 0. y < 0\\0. x + y \geq 0 \end{matrix} \right.\)
Hệ gồm hai bất phương trình đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\). Do đó hệ bất phương trình câu \(a)\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Xét hệ \(\left \{\begin{matrix}x + y^2 < 0\\y \ – \ x > 1 \end{matrix} \right.\)
Hệ bao gồm bất phương trình \(x + y^2 < 0\) có ẩn \(y\) có bậc hai. Do đó hệ bất phương trình câu \(b)\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Xét hệ \(\left \{\begin{matrix}x + y + z < 0\\y < 0\ \end{matrix} \right.\)
Hệ bao gồm bất phương trình \(x + y + z < 0\) có chứa \(3\) ẩn \(x, y, z\). Do đó hệ bất phương trình câu \(c)\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Xét hệ \(\left \{\begin{matrix}\ – \ 2x + y < 3^2\\4^2x + 3y < 1 \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}\ – \ 2x + y < 9\\16x + 3y < 1 \end{matrix} \right.\)
Hệ gồm các bất phương trình đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Do đó hệ bất phương trình câu \(d)\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy hệ bất phương trình ở câu \(a)\) và \(d)\) là các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(\)
Bài \(2.5\). Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:
\(a)\) \(\left \{\begin{matrix}y \ – \ x < \ – \ 1\\x > 0\\y < 0 \end{matrix} \right.\);
\(b)\) \(\left \{\begin{matrix}x \geq 0\\y \geq 0\\2x + y \leq 4 \end{matrix} \right.\);
\(c)\) \(\left \{\begin{matrix}x \geq 0\\z + y > 5\\x \ – \ y < 0 \end{matrix} \right.\).
Trả lời:
\(a)\) Xác định miền nghiệm \(D_1\) của bất phương trình \(y \ – \ x < \ – \ 1\) và tô màu miền còn lại:
- Vẽ đường thẳng \(d: y \ – \ x = \ – \ 1\)
- Xét \(O(0; 0)\) ta có: \(0 \ – \ 0 = 0 > \ – \ 1\) nên \(O(0; 0)\) không thoả mãn bất phương trình \(y \ – \ x < \ – \ 1\)
Do đó miền nghiệm của bất phương trình \(y \ – \ x < \ – \ 1\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) (không kể bờ \(d\) không chứa gốc toạ độ \(O\).
Miền nghiệm \(D_2\) của bất phương trình \(x > 0\) là nửa mặt phẳng có bờ là trục \(Oy\) (không kể bờ \(Oy\)) có chứa điểm \((1; 0)\).
Miền nghiệm \(D_3\) của bất phương trình \(y < 0\) là nửa mặt phẳng bờ là trục \(Ox\) (không kể bờ \(Ox\)) có chứa điểm \((0; \ – \ 1)\).
Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không bị tô màu dưới hình:
\(b)\) Miền nghiệm \(D_1\) của bất phương trình \(x \geq 0\) là nửa mặt phẳng bờ là trục \(Oy\) (chứa cả bờ \(Oy\)) có chứa điểm \((1; 0)\)
Miền nghiệm \(D_2\) của bất phương trình \(y \geq 0\) là nửa mặt phẳng bờ là trục \(Ox\) (chứa cả bờ \(Ox\)) có chứa điểm \((0; 1)\)
Xác định miền nghiệm \(D_3\) của bất phương trình \(2x + y \leq 4\) và tô màu miền còn lại
- Vẽ đường thẳng \(d’: 2x + y = 4\)
- Xét điểm \(O(0; 0)\) ta có: \(2. 0 + 0 = 0 < 4\) nên điểm \(O(0; 0)\) thoả mãn bất phương trình \(2x + y \leq 4\)
Do đó miền nghiệm \(D_3\) của bất phương trình \(2x + y \leq 4\) là nửa mặt phẳng bờ \(d’\) (kể cả bờ \(d’\)) chứa gốc toạ độ \(O\).
Vậy miền nghiệm của hệ đã cho là miền tam giác \(OAB\) (miền không bị tô màu dưới hình)
\(c)\) Miền nghiệm \(D_1\) của bất phương trình \(x \geq 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(Oy\) (kể cả bờ \(Oy\)) chứa điểm \((1; 0)\)
Xác định miền nghiệm \(D_2\) của bất phương trình \(x + y = 5\) và tô màu miền còn lại:
- Vẽ đường thẳng \(d_1: x + y = 5\)
- Xét điểm \(O(0; 0)\) ta có: \(0 + 0 = 0 < 5\) nên toạ độ điểm \(O\) không thoả mãn bất phương trình \(x + y > 5\)
Do đó miền nghiệm \(D_2\) của bất phương trình \(x + y > 5\) là nửa mặt phẳng bờ \(d_1\) (không kể bờ \(d_1\)) không chứa gốc toạ độ \(O\).
Xác định miền nghiệm \(D_3\) của bất phương trình \(x \ – \ y < 0\) và tô màu miền còn lại:
- Vẽ đường thẳng \(d_2: x \ – \ y = 0\)
- Xét điểm \(M(2; 1)\) ta có: \(2 \ – \ 1 = 1 > 0\) nên toạ độ điểm \(M\) không thoả mãn bất phương trình \(x \ – \ y < 0\)
Do đó miền nghiệm \(D_3\) của bất phương trình \(x \ – \ y < 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(d_2\) (không kể bờ \(d_2\)) không chứa điểm \(M\).
Vậy miền nghiệm của hệ đã cho là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình và là miền không bị tô màu dưới hình:
\(\)
Bài \(2.6\). Một gia đình cần ít nhất \(900\) đơn vị protein và \(400\) đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa \(800\) đơn vị protein và \(200\) đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa \(600\) đơn vị protein và \(400\) đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là \(1,6 kg\) thịt bò và \(1,1 kg\) thịt lợn; giá tiền \(1 kg\) thịt bò là \(250\) nghìn đồng; \(1 kg\) thịt lợn là \(160\) nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua \(x\) kilôgam thịt bò và \(y\) kilôgam thịt lợn.
\(a)\) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
\(b)\) Gọi \(F\) (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho \(x\) kilôgam thịt bò và \(y\) kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn \(F\) theo \(x\) và \(y\)
\(c)\) Tính số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.
Trả lời:
Trong \(x\) kg thịt bò chứa \(800x\) đơn vị protein và \(200x\) đơn vị lipit.
Trong \(y\) kg thịt lợn chứa \(600y\) đơn vị protein và \(400y\) đơn vị lipit.
Theo bài ra:
Gia đình mua nhiều nhất \(1,6 kg\) thịt bò và \(1,1 kg\) thịt lợn
\(\Rightarrow 0 \leq x \leq 1,6\); \(0 \leq y \leq 1,1\).
Số đơn vị protein cần ít nhất là \(900\) đơn vị nên:
\(800x + 600y \geq 900\)
\(\Leftrightarrow 8x + 6y \geq 9\)
Số đơn vị lipit cần ít nhất là \(400\) đơn vị nên:
\(200x + 400y \geq 400\)
\(\Leftrightarrow x + 2y \geq 2\)
Khi đó ta có hệ phương trình sau:
\(\left \{\begin{matrix}0 \leq x \leq 1,6\\0 \leq y \leq 1,1\\8x + 6y \geq 9\\x + 2y \geq 2 \end{matrix} \right.\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(ABCD\) với tọa độ các đỉnh \(A(0,3; 1,1); B(0,6; 0,7); C(1,6; 0,2); D(1,6; 1,1)\).
\(b)\) Số tiền gia đình đó phải trả khi mua \(x\) kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là:
\(F(x; y) = 250x + 160y\) (nghìn đồng)
Vậy \(F(x; y) = 250x + 160y\)
\(c)\) Để chi phí mua là ít nhất tức là ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(F(x; y)\) với \(x; y\) thỏa mãn hệ phương trình ở câu \(a)\)
Ta tính giá trị của \(F\) tại các đỉnh \(A, B, C, D\) của tứ giác \(ABCD\)
Ta có: \(F(A) = F(0,3; 1,1) = 250. 0,3 + 160. 1,1 = 251\)
\(F(B) = F(0,6; 0,7) = 250. 0,6 + 160. 0,7 = 262\)
\(F(C) = F(1,6; 0,2) = 250. 1,6 + 160. 0,2 = 432\)
\(F(D) = F(1,6; 1,1) = 250. 1,6 + 160. 1,1 = 576\)
Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(F\) cần tìm là \(F(0,1; 1,1) = 251\)
Vậy để chi phí là ít nhất thì gia đình cần mua \(0,1 \) kilôgam thịt bò và \(1,1\) kilôgam thịt lợn.
\(\)
Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-3-bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an/
Xem bài giải tiếp theo: https://bumbii.com/bai-tap-cuoi-chuong-ii-3/
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-bai-tap-sgk-toan-lop-10-nxb-ket-noi-tri-thuc-voi-cuoc-song/
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.