Bài tập cuối chương VIII

Bài tập cuối chương \(VIII\) trang \(36\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Một nhóm tình nguyện viên gồm \(4\) học sinh lớp \(10A\), \(5\) học sinh lớp \(10B\) và \(6\) học sinh lớp \(10C\). Để tham gia một công việc tình nguyện, nhóm có bao nhiêu cách cử ra
\(a)\) \(1\) thành viên của nhóm?
\(b)\) \(3\) thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau?
\(c)\) \(2\) thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau?

Trả lời:

\(a)\) Tổng số thành viên của nhóm là: \(4 + 5 + 6 = 15\) (thành viên)

Số cách để nhóm cử ra một thành viên tham gia một công việc tình nguyện là tổ hợp chập \(1\) của \(15\).

Do đó số cách cử một thành viên trong nhóm là:

\(C_15^1 = 15\) (cách)

\(b)\) Số cách để nhóm cử ra ba thành viên học ở ba lớp khác nhau để tham gia một công việc tình nguyện là:

\(C_4^1. C_5^1. C_6^1 = 4. 5. 6 = 120\) (cách)

\(c)\) Số cách cử ra hai thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau có thể xảy ra ba phương án sau:

Phương án \(1\): Cử \(1\) thành viên lớp \(10A\) và \(1\) thành viên lớp \(10B\), ta có: \(C_4^1. C_5^1 = 4. 5 = 20\) (cách)
Phương án \(2\): Cử \(1\) thành viên lớp \(10A\) và \(1\) thành viên lớp \(10C\), ta có: \(C_4^1. C_6^1 = 4. 6 = 24\) (cách)
Phương án \(3\): Cử \(1\) thành viên lớp \(10B\) và \(1\) thành viên lớp \(10C\), ta có: \(C_5^1. C_6^1 = 5. 6 = 30\) (cách)

Áp dụng quy tắc cộng, ta có \(20 + 24 + 30 = 74\) (cách) để cử ra hai thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau tham gia một công việc tình nguyện.

\(\)

Bài \(2\). Một khoá số có \(3\) vòng số (mỗi vòng gồm \(10\) số, từ \(0\) đến \(9\)) như Hình \(1\). Người dùng cần đặt mật mã cho khoá là một dãy số có ba chữ số. Để mở khoá cần xoay các vòng số để dãy số phía trước khoá trùng với mật mã đã chọn. Có bao nhiêu cách chọn mật mã cho khoá?

Trả lời:

Ta có: Mật mã là một dãy số có ba chữ số nên việc thiết lập mật mã được chia làm ba giai đoạn:

Giai đoạn \(1\): Thiết lập chữ số đầu tiên, có \(10\) cách chọn.
Giai đoạn \(2\): Thiết lập chữ số thứ hai, có \(10\) cách chọn.
Giai đoạn \(3\): Thiết lập chữ số thứ ba, có \(10\) cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: \(10. 10. 10 = 1000\) (mật mã)

Vậy có tất cả \(1000\) cách chọn mật mã cho khoá.

\(\)

Bài \(3\). Từ \(6\) thẻ số như Hình \(2\), có thể ghép để tạo thành bao nhiêu
\(a)\) số tự nhiên có sáu chữ số?
\(b)\) số tự nhiên lẻ có sáu chữ số?
\(c)\) số tự nhiên có năm chữ số?
\(d)\) số tự nhiên có năm chữ số lớn hơn \(50000\)?

Trả lời:

\(a)\) Mỗi số tự nhiên có \(6\) chữ số với \(6\) chữ số được lấy từ \(6\) thẻ là hoán vị của \(6\) chữ số đó.

Do đó số số tự nhiên có \(6\) chữ số được lập từ \(6\) thẻ số trên là:

\(P_6 = 6 ! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720\) (số)

\(b)\) Việc lập số tự nhiên lẻ có \(6\) chữ số được chia làm hai giai đoạn:

Giai đoạn \(1\): Chọn chữ số hàng đơn vị lấy từ các tấm thẻ có chữ số lẻ \(\{1; 3; 5\}\) ta sẽ có \(3\) cách.
Giai đoạn \(2\): Chọn 5 chữ số còn lại lấy từ \(5\) tấm thẻ còn lại là hoán vị của \(5\) chữ số. Do đó ta có \(5! = 120\) (cách)

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số số tự nhiên lẻ có \(6\) chữ số được lập từ \(6\) thẻ số trên là:

\(3. 120 = 360\) (số)

\(c)\) Số số tự nhiên có \(5\) chữ số được lấy từ \(6\) thẻ số trên là chỉnh hợp chập \(5\) của \(6\) .

Do đó ta có số số tự nhiên có \(5\) chữ số lập từ \(6\) thẻ số trên là:

\(A_6^5 = 720\) (số)

\(d)\) Gọi số tự nhiên có \(5\) chữ số cần tìm là \(\overline{abcde}\) (trong đó \(a, b, c, d, e\) là các số trên các thẻ số đã cho)

Số tự nhiên lớn hơn \(50000\) nên \(a\) bằng \(5\) hoặc bằng \(6\) hay \(a\) có \(2\) cách chọn.

Sắp xếp \(4\) chữ số còn lại trong \(5\) thẻ số, ta có \(A_5^4\) cách

Áp dụng quy tắc nhân ta có số số tự nhiên có \(5\) chữ số lớn hơn \(50000\) là:

\(2. A_5^4 = 240\) (số).

\(\)

Bài \(4\). Thực đơn tại một quán cơm văn phòng có \(6\) món mặn, \(5\) món rau và \(3\) món canh. Tại đây, một nhóm khách muốn chọn bữa trưa gồm, \(2\) món mặn, \(2\) món rau và \(1\) món canh. Nhóm khách có bao nhiêu cách chọn?

Trả lời:

Việc lựa chọn bữa trưa của nhóm khách được chia làm ba công đoạn như sau:

Công đoạn \(1\): Chọn \(2\) món mặn, ta có \(C_6^2 = 15\) cách.
Công đoạn \(2\): Chọn \(2\) món rau, ta có: \(C_5^2 = 10\) cách.
Công đoạn \(3\): Chọn \(1\) món canh, ta có: \(C_3^1 = 3\) cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: \(15. 10. 3 = 450\) cách

Vậy nhóm khách có tất cả \(450\) cách chọn bữa trưa gồm \(2\) món mặn, \(2\) món rau và \(1\) món canh.

\(\)

Bài \(5\). Cho \(9\) điểm nằm trên hai đường thẳng song song như Hình \(3\). Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho?

Trả lời:

Gọi tên hai đường thẳng như hình:

Tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho nên ba điểm phải thoả mãn không thẳng hàng.

Do đó việc lập tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho sẽ có hai phương án như sau:

Phương án \(1\): Chọn \(2\) điểm từ \(d_1\) và \(1\) điểm từ \(d_2\), ta có: \(C_4^2. C_5^1 = 30\) cách.
Phương án \(2\): Chọn \(1\) điểm từ \(d_1\) và \(2\) điểm từ \(d_2\), ta có: \(C_4^1. C_5^2 = 40\) cách

Áp dụng quy tắc cộng ta có số tam giác được tạo thành mà các đỉnh là \(3\) điểm trong các điểm đã cho là:

\(20 + 40 = 70\) tam giác

Vậy có tất cả \(70\) tam giác thoả mãn.

\(\)

Bài \(6\). Khai triển các biểu thức:
\(a)\) \(\left(a \ – \ \displaystyle \frac{b}{2} \right)^4\);
\(b)\) \((2x^2 + 1)^5\).

Trả lời:

\(a)\) Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:

\(\left(a \ – \ \displaystyle \frac{b}{2} \right)^4 = \left(a + \left(\ – \ \displaystyle \frac{b}{2} \right) \right)^4\)

\(= C_4^0. a^4 + C_4^1. a^3. \left(\ – \ \displaystyle \frac{b}{2} \right)^1 + C_4^2. a^2. \left(\ – \ \displaystyle \frac{b}{2} \right)^2\)

\(+ C_4^3. a^1. \left(\ – \ \displaystyle \frac{b}{2} \right)^3 + C_4^4. \left(\ – \ \displaystyle \frac{b}{2} \right)^4\)

\(= a^4 \ – \ 2a^3b + \displaystyle \frac{3}{2}a^2b^2 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}ab^3 +\displaystyle \frac{1}{16}b^4\).

\(b)\) Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:

\((2x^2 + 1)^5 = C_5^0. (2x^2)^5 + C_5^1. (2x^2)^4. 1\)

\( + C_5^2. (2x^2)^3. 1^2 + C_5^3. (2x^2)^2. 1^3 + C_5^4. (2x^2). 1^4 + C_5^5. 1^5\)

\(= 32x^{10} + 80x^8 + 80x^6 + 40x^4 + 10x^2 + 1\)

\(\)

Bài \(7\). Hãy khai triển và rút gọn biểu thức
\((1 + x)^4 + (1 \ – \ x)^4\).
Sử dụng kết quả đó để tính giá trị gần đúng biểu thức \(1,05^4 + 0,95^4\).

Trả lời:

Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:

\((1 + x)^4 = C_4^0. 1^4 + C_4^1. 1^3. x + C_4^2. 1^2. x^2\)

\(+ C_4^3. x. x^3 + C_4^4. x^4\)

\(= 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4\)

\((1 \ – \ x)^4 = (1 + (\ – \ x))^4 \)

\(= C_4^0. 1^4 + C_4^1. 1^3. (\ – \ x) + C_4^2. 1^2. (\ – \ x)^2\)

\(+ C_4^3. 1. (\ – \ x)^3 + C_4^4. (\ – \ x)^4\)

\(= 1 \ – \ 4x + 6x^2 \ – \ 4x^3 + x^4\)

Suy ra ta có:

\((1 + x)^4 + (1 \ – \ x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4\)

\(+ 1 \ – \ 4x + 6x^2 \ – \ 4x^3 + x^4\)