Bài tập cuối chương VII

Bài tập cuối chương \(VII\) trang \(18\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
\(a)\) \(f(x) = 6x^2 + 41x + 44\);
\(b)\) \(g(x) = \ – \ 3x^2 + x \ – \ 1\);
\(c)\) \(h(x) = 9x^2 + 12x + 4\).

Trả lời:

\(a)\) Tam thức \(f(x) = 6x^2 + 41x + 44\) có \(\Delta = 41^2 \ – \ 4. 6. 44 = 625 > 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \displaystyle \frac{\ – \ 11}{2}; x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 4}{3}\) và có \(a = 6 > 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy \(f(x)\) dương trong khoảng \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{\ – \ 11}{2} \right) \cup \left(\displaystyle \frac{\ – \ 4}{3}; + \infty \right)\) và âm trong khoảng \(\left(\displaystyle \frac{\ – \ 11}{2}; \displaystyle \frac{\ – \ 4}{3} \right)\).

\(b)\) Tam thức \(g(x) = \ – \ 3x^2 + x \ – \ 1\) có \(\Delta = 1^2 \ – \ 4. (\ – \ 3). (\ – \ 1) = \ – \ 11 < 0\) và có \(a = \ – \ 1 < 0\).

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy \(g(x)\) luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\(c)\) Tam thức \(h(x) = 9x^2 + 12x + 4\) có \(\Delta = 12^2 \ – \ 4. 9. 4 = 0\) có nghiệm kép \(x_1 = x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3}\) và có \(a = 9 > 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy \(h(x)\) luôn dương với mọi \(x \neq \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3}\).

\(\)

Bài \(2\). Giải các bất phương trình sau:
\(a)\) \(7x^2 \ – \ 19x \ – \ 6 \geq 0\);
\(b)\) \(\ – \ 6x^2 + 11x > 10\);
\(c)\) \(3x^2 \ – \ 4x + 7 > x^2 + 2x + 1\);
\(d)\) \(x^2 \ – \ 10x + 25 \leq 0\).

Trả lời:

\(a)\) Xét tam thức \(f(x) = 7x^2 \ – \ 19x \ – \ 6\) có \(\Delta = (\ – \ 19)^2 \ – \ 4. 7. (\ – \ 6) = 529 > 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{7}; x_2 = 3\) và có \(a = 7 > 0\).

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là: \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{\ – \ 2}{7} \right) \cup (3; + \infty)\).

\(b)\) Ta có: \(\ – \ 6x^2 + 11x > 10 \Leftrightarrow \ – \ 6x^2 + 11x \ – \ 10 > 0\)

Xét tam thức \(f(x) = \ – \ 6x^2 + 11x \ – \ 10\) có \(\Delta = 11^2 \ – \ 4.(\ – \ 6). (\ – \ 10) = \ – \ 119 < 0\) và có \(a = \ – \ 6 < 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy bất phương trình \(\ – \ 6x^2 + 11x > 10\) vô nghiệm.

\(c)\) Ta có: \(3x^2 \ – \ 4x + 7 > x^2 + 2x + 1\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 \ – \ 6x + 6 > 0\)

Xét tam thức \(f(x) = 2x^2 \ – \ 6x + 6\) có \(\Delta = (\ – \ 6)^2 \ – \ 4. 2. 6 = \ – \ 16 < 0\) và có \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu:

Vậy bất phương trình \(3x^2 \ – \ 4x + 7 > x^2 + 2x + 1\) có vô số nghiệm.

\(d)\) Xét tam thức \(f(x) = x^2 \ – \ 10x + 25 \leq 0\) có \(\Delta = (\ – \ 10)^2 \ – \ 4. 1. 25 = 0\) có nghiệm kép \(x_1 = x_2 = 5\) và có \(a = 1 > 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy nghiệm của bất phương trình \(x^2 \ – \ 10x + 25 \leq 0\) là \(x = 5\).

\(\)

Bài \(3\). Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai được cho, hãy giải các bất phương trình sau:
\(a)\) \(x^2 \ – \ 0,5x \ – \ 5 \leq 0\)

\(b)\) \(\ – \ 2x^2 + x \ – \ 1 > 0\)

Trả lời:

\(a)\) Nhìn vào đồ thị ta thấy:

Đồ thị hàm số \(x^2 \ – \ 0,5x \ – \ 5\) nằm phía dưới trục hoành khi \(x \in \left[ \ – \ 2; \displaystyle \frac{5}{2} \right]\).

Vậy nghiệm của bất phương trình \(x^2 \ – \ 0,5x \ – \ 5 \leq 0\) là đoạn \(\left[ \ – \ 2; \displaystyle \frac{5}{2} \right]\).

\(b)\) Nhìn vào đồ thị ta thấy:

Đồ thị hàm số \(\ – \ 2x^2 + x \ – \ 1\) luôn nằm phía dưới trục hoành với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình \(\ – \ 2x^2 + x \ – \ 1 > 0\) vô nghiệm.

\(\)

Bài \(4\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{x^2 \ – \ 7x} = \sqrt{\ – \ 9x^2 \ – \ 8x +3}\);
\(b)\) \(\sqrt{x^2 + x + 8} \ – \ \sqrt{x^2 + 4x + 1} = 0\);
\(c)\) \(\sqrt{4x^2 + x \ – \ 1} = x + 1\);
\(d)\) \(\sqrt{2x^2 \ – \ 10x \ – \ 29} = \sqrt{x \ – \ 8}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\sqrt{x^2 \ – \ 7x} = \sqrt{\ – \ 9x^2 \ – \ 8x +3}\)

\(\Rightarrow x^2 \ – \ 7x = \ – \ 9x^2 \ – \ 8x + 3\)

\(\Rightarrow 10x^2 + x \ – \ 3 = 0\)

\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{\ – \ 3}{5} \text{ hoặc } x = \displaystyle \frac{1}{2}\)

Thay lần lượt từng nghiệm vào phương trình \(\sqrt{x^2 \ – \ 7x} = \sqrt{\ – \ 9x^2 \ – \ 8x +3}\) ta thấy chỉ có nghiệm\(x = \displaystyle \frac{\ – \ 3}{5}\) thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 3}{5}\).

\(b)\) \(\sqrt{x^2 + x + 8} \ – \ \sqrt{x^2 + 4x + 1} = 0\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2 + x + 8} = \sqrt{x^2 + 4x + 1}\)

\(\Rightarrow x^2 + x + 8 = x^2 + 4x + 1\)

\(\Rightarrow 3x = 7\)

\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{7}{3}\)

Thay \(x = \displaystyle \frac{7}{3}\) vào phương trình \(\sqrt{x^2 + x + 8} \ – \ \sqrt{x^2 + 4x + 1} = 0\) ta thấy thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{7}{3}\).

\(c)\) \(\sqrt{4x^2 + x \ – \ 1} = x + 1\)

\(\Rightarrow 4x^2 + x \ – \ 1 = (x + 1)^2 \)

\(\Rightarrow 4x^2 + x \ – \ 1 = x^2 + 2x + 1\)

\(\Rightarrow 3x^2 \ – \ x \ – \ 2 = 0\)

\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3} \text{ hoặc } x = 1\)

Thay lần lượt từng nghiệm vào phương trình \(\sqrt{4x^2 + x \ – \ 1} = x + 1\) ta thấy đều thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \( x = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3} \text{ và } x = 1\).

\(d)\) \(\sqrt{2x^2 \ – \ 10x \ – \ 29} = \sqrt{x \ – \ 8}\)

\(\Rightarrow 2x^2 \ – \ 10x \ – \ 29 = x \ – \ 8\)

\(\Rightarrow 2x^2 \ – \ 11x \ – \ 21 = 0\)

\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{\ – \ 3}{2} \text{ hoặc } x = 7\)

Thay lần lượt từng nghiệm vào phương trình \(\sqrt{2x^2 \ – \ 10x \ – \ 29} = \sqrt{x \ – \ 8}\) ta thấy cả hai nghiệm đều không thoả mãn.

Vậy phương trình \(\sqrt{2x^2 \ – \ 10x \ – \ 29} = \sqrt{x \ – \ 8}\) vô nghiệm.

\(\)

Bài \(5\). Một tam giác vuông có một cạnh góc vuông ngắn hơn cạnh huyền \(8 cm\). Tính độ dài của cạnh huyền biết chu vi tam giác bằng \(30 cm\).

Trả lời:

Gọi độ dài cạnh huyền của tam giác là \(x\) \(cm\)

\(\Rightarrow\) Độ dài một cạnh góc vuông là \( x \ – \ 8\) \(cm\)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ta có:

Độ dài cạnh góc vuông còn lại sẽ là:

\(\sqrt{x^2 \ – \ (x \ – \ 8)^2} = \sqrt{x^2 \ – \ (x^2 \ – \ 16x + 64)}\)

\(= \sqrt{16x \ – \ 64}\)

Chu vi tam giác bằng \(30 cm\) nên ta có:

\(x + x \ – \ 8 + \sqrt{16x \ – \ 64} = 30\)

\(\Rightarrow 2x \ – \ 38 = \ – \ \sqrt{16x \ – \ 64}\)

\(\Rightarrow (2x \ – \ 38)^2 = 16x \ – \ 64\)

\(\Rightarrow 4x^2 \ – \ 152x + 1444 = 16x \ – \ 64\)

\(\Rightarrow 4x^2 \ – \ 168x + 1508 = 0\)

\(\Rightarrow x = 13 \text{ hoặc } x = 29\)

Thay lần lượt \(x = 13\) và \(x = 29\) vào phương trình \(2x \ – \ 38 = \ – \ \sqrt{16x \ – \ 64}\) ta thấy chỉ có nghiệm \(x = 13\) thoả mãn.

Vậy cạnh huyền cần tìm là \(13\) \(cm\).

\(\)

Bài \(6\). Một quả bóng được bắn thẳng lên từ độ cao \(2 m\) với vận tốc ban đầu là \(30 m/s\). Khoảng cách của bóng so với mặt đất sau \(t\) giây được cho bởi hàm số \(h(t) = \ – \ 4,9t^2 + 30t + 2\) với \(h(t)\) tính bằng đơn vị mét. Hỏi quả bóng nằm ở độ cao trên \(40 m\) trong thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Trả lời:

Quả bóng nằm ở độ cao trên \(40 m\) nên ta có:

\(h(t) > 40 \Leftrightarrow \ – \ 4,9t^2 + 30t + 2 > 40\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 4,9t^2 + 30t \ – \ 38 > 0\)

Xét tam thức \(f(t)\) có \(\Delta = 30^2 \ – \ 4. (\ – \ 4,9). (\ – \ 38) = 155,2\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1 \approx 1,8; x_2 \approx 4,3\) và có \(a = \ – \ 4,9 < 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy, trong khoảng thời gian từ \(1,8s\) đến \(4,3s\) thì bóng có độ cao trên \(40m\)

Vậy quả bóng nằm ở độ cao trên \(40m\) trong \(4,3 \ – \ 1,8 = 2,5s\)

\(\)

Bài \(7\). Một chú cá heo nhảy lên khỏi mặt nước. Độ cao \(h (mét)\) của cá heo so với mặt nước sau \(t\) giây được cho bởi hàm số \(h(t) = \ – \ 4,9t^2 + 9,6t\). Tính khoảng thời gian cá heo ở trên không.

Trả lời:

Cá heo ở trên không khi và chỉ khi \(h(t) > 0\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 4,9t^2 + 9,6t > 0\)

Xét tam thức \(f(t) = \ – \ 4,9t^2 + 9,6t\) có \(\Delta = 9,6^2 \ – \ 4. (\ – \ 4,9). 0 = 92,16\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 0; x_2 = \displaystyle \frac{96}{49}\) và có \(a = \ – \ 4,9 < 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy khoảng thời gian cá heo ở trên không là khoảng \(\left(0; \displaystyle \frac{96}{49} \right) s\).

\(\)

Bài \(8\). Lợi nhuận một tháng \(p(x)\) của một quán ăn phụ thuộc vào giá trung bình \(x\) của các món ăn theo công thức \(p(x) = \ – \ 30x^2 + 2100x \ – \ 15000\), với đơn vị tính bằng nghìn đồng. Nếu muốn lợi nhuận không dưới \(15\) triệu đồng một tháng thì giá bán trung bình của các món ăn cần nằm trong khoảng nào?

Trả lời:

Ta có: \(15\) triệu đồng = \(15000\) nghìn đồng

Lợi nhuận không dưới \(15\) triệu đồng khi và chỉ khi: \(p(x) \geq 15000\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 30x^2 + 2100x \ – \ 15000 \geq 15000\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 30x^2 + 2100x \ – \ 30000 \geq 0\)

Xét tam thức \(f(x) = \ – \ 30x^2 + 2100x \ – \ 30000\) có \(\Delta = 2100^2 \ – \ 4. (\ – \ 30). (\ – \ 30000)\)

\(= 810000 > 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 20; x_2 = 50\) và có \(a = \ – \ 30 < 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy muốn lợi nhuận không dưới \(15\) triệu đồng một tháng thì giá bán các món ăn cần nằm trong khoảng từ \(20\) đến \(50\) nghìn đồng.

\(\)

Bài \(9\). Quỹ đạo của một quả bóng được mô tả bằng hàm số \(y = f(x) = \ – \ 0,03x^2 + 0,4x + 1,5\) với \(y\) (tính bằng mét) là độ cao của quả bóng so với mặt đất khi độ dịch chuyển theo phương ngang của bóng là \(x\) ( tính bằng mét). Để quả bóng có thể ném được qua lưới cao \(2 m\), người ném phải đứng cách lưới bao xa? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Trả lời:

Để quả bóng có thể ném được qua lưới cao \(2m\) thì:

\(y = f(x) = \ – \ 0,03x^2 + 0,4x + 1,5 > 2\)

\(\Rightarrow f(x) = \ – \ 0,03x^2 + 0,4x \ – \ 0,5 > 0\)

Xét tam thức \(f(x) = \ – \ 0,03x^2 + 0,4x \ – \ 0,5 \) có \(\Delta = 0,1 > 0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1 \approx 1,4; x_2 \approx 11,9\) và có \(a = \ – \ 0,03 < 0\)

Ta có bảng xét dấu sau: