Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài \(2\). Giải bất phương trình bậc hai một ẩn trang \(11\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng, hãy xác định tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai sau đây:
\(a)\) \(x^2 + 2,5x \ – \ 1,5 \leq 0\)

\(b)\) \(\ – \ x^2 \ – \ 8x \ – \ 16 \leq 0\)

\(c)\) \(\ – \ 2x^2 + 11x \ – \ 12 > 0\)

\(d)\) \(\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + \displaystyle \frac{1}{2}x + 1 \leq 0\)

Trả lời:

\(a)\) Nhìn vào đồ thị ta thấy: \(f(x) = x^2 + 2,5x \ – \ 1,5 \leq 0\) khi \(x \in \left[\ – \ 3; \displaystyle \frac{1}{2} \right]\).

Vậy nghiệm của bất phương trình \(x^2 + 2,5x \ – \ 1,5 \leq 0\) là \(\left[\ – \ 3; \displaystyle \frac{1}{2} \right]\).

\(b)\) Nhìn vào đồ thị ta thấy: \(f(x)= \ – \ x^2 \ – \ 8x \ – \ 16 < 0\) với mọi \(x \neq \ – \ 4\)

Vậy nghiệm của bất phương trình \(\ – \ x^2 \ – \ 8x \ – \ 16 < 0\) là \(\mathbb{R} \setminus \{4 \}\).

\(c)\) Nhìn vào đồ thị ta thấy \(f(x) = \ – \ 2x^2 + 11x \ – \ 12 > 0\) khi \(x \in \left(\displaystyle \frac{3}{2}; 4 \right)\).

Vậỵ nghiệm của bất phương trình \(\ – \ 2x^2 + 11x \ – \ 12 > 0\) là \(\left(\displaystyle \frac{3}{2}; 4 \right)\).

\(d)\) Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số \(f(x) = \displaystyle \frac{1}{2}x^2 + \displaystyle \frac{1}{2}x + 1\) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành với mọi \(x\) hay \(f(x) > 0\) với mọi \(x\).

Vậy bất phương trình \(\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + \displaystyle \frac{1}{2}x + 1 < 0\) vô nghiệm.

\(\)

Bài \(2\). Giải các bất phương trình bậc hai sau:
\(a)\) \(2x^2 \ – \ 15x + 28 \geq 0\);
\(b)\) \(\ – \ 2x^2 + 19x + 255 > 0\);
\(c)\) \(12x^2 < 12x \ – \ 8\);
\(d)\) \(x^2 + x \ – \ 1 \geq 5x^2 \ – \ 3x\).

Trả lời:

\(a)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = 2x^2 \ – \ 15x + 28\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1 = \displaystyle \frac{7}{2}; x_2 = 4\) và có \(a = 2 > 0\)

\(\Rightarrow f(x) \geq 0\) khi \(x\) thuộc hai nửa khoảng \(\left( \ – \ \infty; \displaystyle \frac{7}{2} \right)\) và \((4; + \infty)\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2x^2 \ – \ 15x + 28 \geq 0\) là \(\left( \ – \ \infty; \displaystyle \frac{7}{2} \right) \cup (4; + \infty)\).

\(b)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 2x^2 + 19x + 255\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1 = \displaystyle \frac{\ – \ 15}{2}; x_2 = 17\) và có \(a = \ – \ 2 < 0\) nên \(f(x) > 0\) khi \(x \in \left( \displaystyle \frac{\ – \ 15}{2}; 17 \right)\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f(x) = \ – \ 2x^2 + 19x + 255 > 0\) là \(\left( \displaystyle \frac{\ – \ 15}{2}; 17 \right)\).

\(c)\) Ta có: \(12x^2 < 12x \ – \ 8\)

\(\Leftrightarrow 12x^2 \ – \ 12x + 8 < 0\)

Tam thức bậc hai \(f(x) = 12x^2 \ – \ 12x + 8\) có \(\Delta = (\ – \ 12)^2 \ – \ 4. 12. 8 = \ – \ 240 < 0\) và \(a = 12 > 0\) nên \(f(x) = 12x^2 \ – \ 12x + 8 > 0\) với mọi \(x\)

Vậy bất phương trình \(12x^2 < 12x \ – \ 8\) vô nghiệm.

\(d)\) Ta có: \(x^2 + x \ – \ 1 \geq 5x^2 \ – \ 3x\)

\(\Leftrightarrow 4x^2 \ – \ 4x + 1 \geq 0\)

Tam thức bậc hai \(f(x) = 4x^2 \ – \ 4x + 1\) có \(\Delta = (\ – \ 4)^2 \ – \ 4. 4. 1 = 0\) và \(a = 4 > 0\) nên \(f(x) \geq 0\) với mọi \(x\).

Vậy bất phương trình \(x^2 + x \ – \ 1 \geq 5x^2 \ – \ 3x\) có vô số nghiệm.

\(\)

Bài \(3\). Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm \(30 m\) hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là \(50 m^2\). Hỏi chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Trả lời:

Ta có: \(30 m\) tương ứng với chu vi hàng rào hình chữ nhật.

Gọi \(x (m) \) là chiều rộng của vườn hoa \((x > 0)\)

\(\Rightarrow\) chiều dài vườn hoa là: \(\displaystyle \frac{30}{2} \ – \ x = 15 \ – \ x (m)\)

\(\Rightarrow\) Diện tích vườn hoa hình chữ nhật là:

\(x. ( 15 \ – \ x) = \ – \ x^2 + 15x\).

Diện tích vườn hoa ít nhất \(50 m^2\) nên ta có:

\(\ – \ x^2 + 15x \geq 50\)

\(\ – \ x^2 + 15x \ – \ 50 \geq 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ x^2 + 15x \ – \ 50\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 5; x_2 = 10\) và \(a = \ – \ 1 < 0\) nên \(f(x) \geq 0\) khi \(x \in [5; 10]\)

Vậy khi chiều rộng của vườn hoa nằm trong đoạn \([5; 10]\) thì thoả mãn diện tích vườn hoa ít nhất là \(50 m^2\).

\(\)

Bài \(4\). Một quả bóng được ném thẳng lên từ độ cao \(1,6 m\) so với mặt đất với vận tốc \(10 m/s\). Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau \(t\) giây được cho bởi hàm số \(h(t) = \ – \ 4,9t^2 + 10t + 1,6\). Hỏi:
\(a)\) Bóng có thể cao trên \(7 m\) không?
\(b)\) Bóng ở độ cao trên \(5 m\) trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Trả lời:

\(a)\) Bóng cao trên \(7 m\) thì ta có:

\(\ – \ 4,9t^2 + 10t + 1,6 > 7\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 4,9t^2 + 10t \ – \ 5,4 > 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(t) = \ – \ 4,9t^2 + 10t \ – \ 5,4 \) có \(\Delta = 10^2 \ – \ 4. (\ – \ 4,9). (\ – \ 5,4) = \displaystyle \frac{\ – \ 146}{25} < 0\) và \(a = \ – \ 4,9 < 0\) nên \(f(t)\) âm với mọi \(t\)

Suy ra bất phương trình \(\ – \ 4,9t^2 + 10t + 1,6 > 7\) vô nghiệm.

Vậy bóng không thể cao trên \(7 m\).

\(b)\) Bóng cao trên \(5 m\) thì ta có:

\(\ – \ 4,9t^2 + 10t + 1,6 > 5\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 4,9t^2 + 10t \ – \ 3,4 > 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f(t) = \ – \ 4,9t^2 + 10t \ – \ 3,4 \) có hai nghiệm phân biệt \(t_1 \approx 0,43; t_2 \approx 1,61\) và \(a = \ – \ 4,9 < 0\) nên \(f(t)\) dương khi \(t\) nằm trong khoảng \((0,43; 1,61)\)

Khi đó bóng ở độ cao trên \(5 m\) trong khoảng thời gian từ \(1, 61 \ – \ 0,43 = 1, 18 s\)

Vậy bóng ở độ cao trên \(5 m\) trong khoảng \(1,18 s\).

\(\)

Bài \(5\). Mặt cắt ngang của mặt đường thường có dạng hình Parabol để nước mưa dễ dàng thoát sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường mô tả bằng hàm số \(y = \ – \ 0,006x^2\) với gốc toạ độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét như trong Hình \(4\). Với chiều rộng của đường như thế nào thì tim đường cao hơn lề đường không quá \(15 cm\)?