Bài tập cuối chương 8

Bài tập cuối chương 8 trang 84 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Chân Trời Sáng Tạo.

\(1.\) Cho tam giác ABC cân tại A (\(\widehat{A}<90^o\)). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng \(\Delta BEC=\Delta CFB\).

b) Chứng minh rằng \(\Delta AHF=\Delta AHE\).

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Giải

a) Xét \(\Delta BEC\) vuông tại E và \(\Delta CFB\) vuông tại F có:

\(\widehat{ECB} =\widehat{FBC}\) (tam giác ABC cân tại A).

BC là cạnh chung.

Do đó \(\Delta BEC=\Delta CFB\) (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Do \(\Delta BEC=\Delta CFB\) nên EC = FB.

Suy ra AE = AF.

Xét \(\Delta AHF\) vuông tại F và \(\Delta AHE\) vuông tại E có:

AF = AE

AH là cạnh chung.

Do đó \(\Delta AHF=\Delta AHE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) Ta có H là trực tâm của \(\Delta ABC\).

Suy ra AH ⊥ BC (1).

Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta AIC\) có:

AB = AC.

IB = IC (do I là trung điểm của BC).

AI là cạnh chung.

Suy ra \(\Delta AIB=\Delta AIC\) (c.c.c).

Do đó \(\widehat{AIB} =\widehat{AIC}\).

Mà \(\widehat{AIB} + \widehat{AIC}=180^o\) nên \(\widehat{AIB} + \widehat{AIB}=180^o\) hay \(2\widehat{AIB} =180^o\).

Suy ra \(\widehat{AIB} =\widehat{AIC} =90^o\).

Do đó AI ⊥ BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra A, H, I thẳng hàng.

\(\)

\(2.\) Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh rằng tam giác ABM cân.

b) Chứng minh rằng \(\Delta ABC=\Delta MBC\).

Giải

a) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H và \(\Delta MHB\) vuông tại H có:

AH = MH (giả thiết).

BH là cạnh chung.

Do đó \(\Delta AHB=\Delta MHB\) (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AB = MB.

Vậy tam giác ABM cân tại B.

b) Do \(\Delta AHB=\Delta MHB\) nên \(\widehat{ABH} =\widehat{MBH}\).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta MBC\) có:

AB = MB (chứng minh trên).

\(\widehat{ABC} =\widehat{MBC}\) (chứng minh trên).

BC là cạnh chung.

Do đó \(\Delta ABC=\Delta MBC\)(c.g.c).

\(\)

\(3.\) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC.

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Chứng minh rằng \(\widehat{ADB} =\widehat{BAH}\).

Giải

a) Trên tia đối của HC lấy D sao cho HC = HD nên H là trung điểm của CD.

AH \(\bot\) CD tại trung điểm H của CD nên AH là đường trung trực của CD.

Do đó AC = AD.

b)\(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 90^o\)

\(\Delta ABH\) vuông tại H nên \(\widehat{ABH} + \widehat{HAB} = 90^o\)

\(\Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{HAB}\)

Ta có \(\Delta ACD\) cân tại A (AC = AD).

\(\Rightarrow \widehat{ACD} = \widehat{ADC}\)

mà \(\widehat{ACB} = \widehat{HAB}\)

Suy ra \(\widehat{ADB} = \widehat{HAB}\).

\(\)

\(4.\) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE \(\bot\) AN (E\(\in\)AN).

a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Giải

a) Xét \(\Delta BAE\) vuông tại E và \(\Delta BNE\) vuông tại E có:

BA = BN (giả thiết).

BE là cạnh chung.

Suy ra \(\Delta BAE=\Delta BNE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó \(\widehat{ABE} =\widehat{NBE}\).

Suy ra BE là tia phân giác của \(\widehat{ABN}\).

b) Ta có K là trực tâm của tam giác ABN.

Suy ra NK \(\bot\) AB.

Mà CA \(\bot\) AB nên NK // CA.

c) Do BE là tia phân giác của \(\widehat{ABN}\) nên \(\widehat{ABE} =\widehat{NBE}\).

Xét \(\Delta BAF\) và \(\Delta BNF\) có:

BA = BN (giả thiết).

\(\widehat{ABF} =\widehat{NBF}\) (chứng minh trên).

BF là cạnh chung.

Do đó \(\Delta BAF=\Delta BNF\)(c.g.c).

Suy ra AF = NF và \(\widehat{BNF} = \widehat{BAF} = 90^o\).

Do đó FN \(\bot\) BC.

Xét \(\Delta BNG\) vuông tại A và \(\Delta BAC\) vuông tại N có:

BA = BN (giả thiết).

\(\widehat{ABN}\) là góc chung.

Do đó \(\Delta BNG=\Delta BAC\) (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Suy ra BG = BC.

Vậy tam giác BGC cân tại B.

\(\)

\(5.\) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng \(\widehat{ BMN} = \widehat{HAC}\).

b) Kẻ MI ⊥ AH (I \(\in\) AH), gọi K là giao điểm của AH với BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Giải

a) Xét \(\Delta BMN\) vuông tại N và \(\Delta CMN\) vuông tại N có:

MB = MC (M thuộc trung trực của BC).

MN là cạnh chung.

Do đó \(\Delta BMN=\Delta CMN\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat{BMN} =\widehat{CMN}\) \((1)\).

Do MN \(\bot\) BC, AH \(\bot\) BC nên MN // AH.

Suy ra \(\widehat{CMN} =\widehat{HAC}\) (hai góc đồng vị) \((2)\).

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(\widehat{BMN} =\widehat{HAC}\).

b) Do \(\Delta BMN=\Delta CMN\) nên \(\widehat{MBN} =\widehat{MCN}\) (2 góc tương ứng).

Do MI \(\bot\) AH, BC \(\bot\) AH nên MI // BC.

Ta có \(\widehat{AMI} =\widehat{MCN}\) (hai góc đồng vị)

\(\widehat{KMI} =\widehat{MBN}\) (hai góc so le trong).

Do đó \(\widehat{AMI} =\widehat{KMI}\).

Xét \(\Delta AMI\) vuông tại I và \(\Delta KMI\) vuông tại I có:

\(\widehat{AMI} =\widehat{KMI}\) (chứng minh trên).

MI là cạnh chung.

Do đó \(\Delta AMI=\Delta KMI\) (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Suy ra AI = KI.

Mà I nằm giữa A và K nên I là trung điểm của AK.

\(\)

\(6.\) Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FD = FN.

a) Chứng minh rằng \(\Delta MFN=\Delta PFD\).

b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của GH. Gọi K là trung điểm của DP. Chứng minh rằng ba điểm M, H, K thẳng hàng.

Giải

a) Tam giác MNP có đường trung tuyến NF nên F là trung điểm của MP.

Do đó FM = FP.

Xét \(\Delta MFN\) và \(\Delta PFD\) có:

MF = PF (chứng minh trên).

\(\widehat{MFN} =\widehat{PFD}\) (hai góc đối đỉnh).

FN = FD (giả thiết).

Do đó \(\Delta MFN=\Delta PFD\) (c.g.c).

b) Tam giác MNP có G là giao điểm hai đường trung tuyến ME và NF nên G là trọng tâm của tam giác MNP.

Do đó NG = \(\displaystyle\frac{2}{3}\)NF.

Suy ra GF = \(\displaystyle\frac{1}{3}\)NF.

Do F là trung điểm của GH nên GF = HF.

Suy ra HF = \(\displaystyle\frac{1}{3}\)NF.

Mà NF = DF nên HF = \(\displaystyle\frac{1}{3}\)DF.

Suy ra DH = \(\displaystyle\frac{2}{3}\)DF.

Tam giác MDP có đường trung tuyến DF và DH = \(\displaystyle\frac{2}{3}\)DF nên H là trọng tâm của tam giác MDP.

Lại có MK là đường trung tuyến của tam giác MDP nên M, H, K thẳng hàng.

\(\)

\(7.\) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AC, AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (D \(\in\) BC). Gọi E là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng DE = DB.

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH \(\bot\) CK.

Giải

a) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ADB\) có

AB = AE.

\(\widehat{BAD} = \widehat{EAD}\) (AD là tia phân giác).

AD là cạnh chung.

Do đó \(\Delta ADE=\Delta ADB\) (c.g.c)

Suy ra DE = DB.

b) Ta có \(\Delta ADE=\Delta ADB\) suy ra \(\widehat{AED} = \widehat{ABD}\), suy ra \(\widehat{KEC}=\widehat{CBK}\).

Xét \(\Delta KBD\) và \(\Delta CED\) có

\(\widehat{BDK} = \widehat{EDC}\) (đối đỉnh).

DE = DB (chứng minh trên).

\(\widehat{DEC}=\widehat{DBK}\).

Do đó \(\Delta KBD=\Delta CED\) (g.c.g) suy ra KD = CD, suy ra \(\Delta DCK\) cân tại D.

KB = CE = AB suy ra B là trung điểm của AK.

c) Xét \(\Delta KHA\) và \(\Delta CHA\) có

\(\widehat{KAH} = \widehat{CAH}\).

AH là cạnh chung.

AK = AC

Do đó \(\Delta KHA=\Delta CHA\) (c.g.c) suy ra \(\widehat{KHA} =\widehat{CHA} =\displaystyle\frac{180^o}{2}=90^o\).

Vậy AH \(\bot\) KC.

\(\)

\(8.\) Ở hình \(1\), cho biết AE = AF và \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\). Chứng minh rằng AH là đường trung trực của BC

Giải

Ta có \(\widehat{ABC} =\widehat{ACB}\) nên \(\Delta ABC\) cân tại A, suy ra AB = AC.

Xét \(\Delta EBC\) và \(\Delta FCB\) có

BE = CF.

\(\widehat{EBC} =\widehat{FCB}\) (giả thiết).

BC là cạnh chung.

Do đó \(\Delta EBC=\Delta FCB\) (c.g.c).

Suy ra \(\widehat{ECB} = \widehat{FBC}\) hay \(\widehat{HCB} = \widehat{HBC}\).

Nên \(\Delta HBC\) cân tại H.

Do đó HB = HC.

Ta có AB = AC và HB = HC suy ra AH là đường trung trực của BC.

\(\)

\(9.\) Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H \(\in\) CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng \(\widehat{EBH}=\widehat{ACM}\).

c) Chứng minh rằng EB \(⊥\) BC.

Giải

a) BH \(\bot\) CM

Suy ra \(\Delta BHM\) và \(\Delta BHE\) là 2 tam giác vuông tại H.

Xét \(\Delta BHM\) và \(\Delta BHE\) cùng vuông tại H có:

BH là cạnh chung;

HM = HE.

Do đó \(\Delta BHM=\Delta BHE\) (hai cạnh góc vuông).

Suy ra MB = BE \(\Delta MBE\) cân tại B.

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(\widehat{MCA} + \widehat{CMA} = 90^o\).

Xét \(\Delta BHE\) vuông tại H nên \(\widehat{HBE} + \widehat{BEH} = 90^o\).

mà \(\widehat{HMB} = \widehat{BEH}\) (\(\Delta MBE\) cân tại B).

\(\widehat{HMB} = \widehat{CMA}\) (hai góc đối đỉnh).

Suy ra \(\widehat{ACM} = \widehat{HBE}\).

c) Ta có: \(\Delta BHM = \Delta BHE\) nên \(\widehat{HBM} = \widehat{HBE}\).

Có \(\widehat{HBM} + \widehat{HBE} = \widehat{MBE}\).

\(2\widehat{HBE} = \widehat{MBE}\) .

CM là đường phân giác của \(\widehat{ACB}\).

\(\widehat{ACM} = \widehat{MCB} = \displaystyle\frac{\widehat{ACB}}{2}\).

Hay \(2\widehat{ACM} = \widehat{ACB}\).

Xét \widehat{\Delta ABC} vuông tại A có:

\(\widehat{ACB} + \widehat{ABC} = 90^o\)

\(2\widehat{ACM} + \widetilde{MBC} = 90^o\)

\(2\widehat{HBE} + \widehat{MBC} = 90^o\)

\(\widehat{MBE} + \widehat{MBC} = 90^o\)

\(\widehat{EBC} = 90^o\).

Suy ra EB \(\bot\) BC.

\(\)

\(10.\) Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.

Giải