Bài \(4\). Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu trang \(120\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
Bài \(1\). Hãy chọn ngẫu nhiên trong lớp ra \(5\) bạn nam và \(5\) bạn nữ rồi đo chiều cao các bạn đó. So sánh xem chiều cao của các bạn nam hay các bạn nữ đồng đều hơn.
Trả lời:
Ta lấy ngẫu nhiên các bạn nam và nữ với chiều cao như sau:
- \(5\) bạn nam với chiều cao lần lượt là: \(164 cm; 158 cm; 172 cm; 170 cm; 175 cm\)
- \(5\) bạn nữ với chiều cao lần lượt là: \(152 cm; 156 cm; 153 cm ; 158 cm; 162 cm\)
Ta đi tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị , phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của từng mẫu số liệu rồi so sánh.
\(+\) Sắp xếp mẫu số liệu chiều cao nam theo thứ tự không giảm ta được:
\(158; 164; 170; 172; 175\).
Khoảng biến thiên chiều cao của nam là:
\(R_1 = 175 \ – \ 158 = 17\)
Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là\(Q_2 = 170\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(158; 164.\)
\(\Rightarrow Q_1 = 161\)
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(172; 175\)
\(\Rightarrow Q_3 = 173,5\)
Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_Q = 173,5 \ – 161 = 12,5\)
Chiều cao trung bình của các bạn nam là:
\(\overline{x_1} = \displaystyle \frac{158 + 164 + 170 + 172 + 175}{5} = 167,8\)
Phương sai của mẫu số liệu chiều cao của nam là:
\(S_{1}^2 = \displaystyle \frac{1}{5}. (158^2 + 164^2 + 170^2 + 172^2 + 175^2) \ – \ 167,8^2\)
\(= 36,96\)
Độ lệch chuẩn mẫu số liệu chiều cao nam là:
\(S_1 = \sqrt{S_{1}^2} =\sqrt{36,96} = 6,08\)
\(+\) Sắp xếp các số liệu chiều cao nữ theo thứ tự không giảm ta được:
\(152; 153; 156; 158; 162\).
Khoảng biến thiên chiều cao các bạn nữ là:
\(R_2 = 162 \ – \ 152 = 10\)
Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là\(Q_2 = 156\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(152; 153.\)
\(\Rightarrow Q_1 = 152,5\)
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(158; 162\)
\(\Rightarrow Q_3 = 160\)
Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_Q = 160 \ – 152,5 = 7,5\)
Chiều cao trung bình của các bạn nữ là:
\(\overline{x_2} = \displaystyle \frac{152 + 153+ 156 + 158 + 162}{5} = 156,2\)
Phương sai của mẫu số liệu chiều cao của nữ là:
\(S_{2}^2 = \displaystyle \frac{1}{5}. (152^2 + 153^2 + 156^2 + 158^2 + 162^2)\)
\(\ \ – \ 156,2^2 = 12,96\)
Độ lệch chuẩn mẫu số liệu chiều cao nữ là:
\(S_2 = \sqrt{S_{2}^2} =\sqrt{12,96} = 3,6\)
Ta thấy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu chiều cao nữ đều thấp hơn nam. Điều đó cho ta biết chiều cao nữ có độ phân tán thấp hơn chiều cao của nam.
Do đó chiều cao của các bạn nữ đồng đều hơn so với chiều cao của các bạn nam.
\(\)
Bài \(2\). Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và các giá trị ngoại lệ của các mẫu số liệu sau:
\(a)\) \(6; 8; 3; 4; 5; 6; 7; 2; 4\).
\(b)\) \(13; 37; 64; 12; 26; 43; 29; 23\).
Trả lời:
\(a)\) Số trung bình:
\(\overline{x} = \displaystyle \frac{6 + 8 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 2 + 4}{9}\)
\(= 5\)
Phương sai của mẫu số liệu là:
\(S^2 = \displaystyle \frac{1}{9}(6^2 + 8^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 +\)
\(2^2 + 4^2) \ – \ 5^2 = \displaystyle \frac{10}{3}\)
Độ lệch chuẩn của mẫu là:
\(S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\displaystyle \frac{10}{3}} = \displaystyle \frac{\sqrt{30}}{3}\)
Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
\(2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8\)
Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là \(Q_2 = 5\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(2; 3; 4; 4\)
\(\Rightarrow Q_1 = 3,5\)
Tứ phân vị thứ ba trung vị của mẫu: \(6; 6; 7; 8\)
\(\Rightarrow Q_3 = 6,5\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu là:
\(\Delta_{Q} = Q_3 \ – \ Q_1 = 6,5 \ – \ 3,5 = 3\)
\(\Rightarrow \left \{\begin{matrix}Q_3 + 1,5 \Delta_{Q} = 6,5 + 1,5. 3 = 11\\Q_1 \ – \ 1,5. \Delta_{Q} = 3,5 \ – \ 1,5. 3 = \ – \ 1 \end{matrix} \right.\)
Do đó mẫu số liệu không có giá trị ngoại lệ.
\(b)\) Số trung bình là:
\(\overline{x} = \displaystyle \frac{13 + 37 + 61 + 12 + 26 + 43 + 29 + 23}{8}\)
\(= 30,875\)
Phương sai của mẫu số liệu là:
\(S^2 = \displaystyle \frac{1}{8}.(13^2 + 37^2 + 64^2 + 12^2 + 26^2+ 43^2+\)
\(29^2 + 23^2)\ – \ 30,875^2 \approx 255,86\)
Độ lệch chuẩn \(S = \sqrt{S^2} \approx 16\)
Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
\(12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64\)
Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là:
\(Q_2 = \displaystyle \frac{1}{2}(26+ 29) = 27,5\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(12; 13; 23; 26\)
\(\Rightarrow Q_1 = 18\)
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(29; 37; 43; 64\)
\(\Rightarrow Q_3 = 40\)
Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_{Q} = 40 \ – \ 18 = 22\)
\(\Rightarrow \left \{\begin{matrix}Q_3 + 1,5 \Delta_{Q} = 40 + 1,5. 22 = 73\\Q_1 \ – \ 1,5. \Delta_{Q} = 18 \ – \ 1,5. 22 = \ – \ 15 \end{matrix} \right.\)
Do đó mẫu số liệu không có giá trị ngoại lệ.
\(\)
Bài \(3\). Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:
\(a)\)
\(b)\)
Trả lời:
\(a)\) Cỡ mẫu của mẫu số liệu:
\(n = 10 + 20 + 30 + 20 + 10 = 90\)
Số trung bình:
\(\overline{x} = \displaystyle \frac{10.(\ – \ 2) + 20.(\ – \ 1) + 30.0 + 20.1 + 10.2}{90}\)
\( = 0\)
Phương sai của mẫu số liệu là:
\(S^2 = \displaystyle \frac{1}{90}. [10.(\ – \ 2)^2 + 20.(\ – \ 1)^2 + 30. 0^2\)
\(+ 20. 1^2 + 10. 2^2] \ – \ 0^2 = \displaystyle \frac{4}{3}\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:
\(S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\displaystyle \frac{4}{3}} = \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm ta được:
\(\underbrace{\ – \ 2; … ; \ – \ 2}_{10}; \underbrace{\ – \ 1; … ; \ – \ 1}_{20}; \underbrace{0; … ; 0}_{30}\);
\(\underbrace{1; … ; 1}_{20}; \underbrace{2; … ; 2}_{10}\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:
\(R = 2 \ – \ (\ – \ 2) = 4\)
Vì cỡ mẫu bằng \(90\) là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là:
\(Q_2 = 0\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:
\(\underbrace{\ – \ 2; … ; \ – \ 2}_{10}; \underbrace{\ – \ 1; … ; \ – \ 1}_{20}; \underbrace{0; … ; 0}_{15}\)
\(\Rightarrow Q_1 = \ – \ 1\)
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu:
\(\underbrace{0; … ; 0}_{15}; \underbrace{1; … ; 1}_{20}; \underbrace{2; … ; 2}_{10}\)
\(\Rightarrow Q_3 = 1\)
Khoảng tứ phân vị là:
\(\Delta_{Q} = 1 \ – \ (\ – \ 1) = 2\)
\(b)\) Số trung bình là:
\(\overline{x} = \displaystyle \frac{0,1. 0 + 0,2. 1+ 0,4. 2 + 0,2. 3 + 0,1. 4}{0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1}\)
\(= 2\)
Phương sai của mẫu số liệu là:
\(S^2 = (0,1 . 0^2 + 0,2 . 1^2 + 0,4 . 2^2 + 0,2 . 3^2\)
\( + 0,1 . 4^2) \ – \ 2^2 = 1,2\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:
\(S = \sqrt{S^2} = \sqrt{1,2} = \displaystyle \frac{\sqrt{30}}{5}\)
Giả sử cỡ mẫu là \(10\). Khi đó ta có:
Tần số của giá trị \(0\) là \(0,1. 10 = 1\)
Tần số của giá trị \(1\) là \(0,2. 10 = 2\)
Tần số của giá trị \(2\) là \(0,4. 10 = 4\)
Tần số của giá trị \(3\) là \(0,2. 10 = 2\)
Tần số của giá trị \(4\) là \(0,1. 10 = 1\)
Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm ta được:
\(0; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 4\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:
\(R = 4 \ – \ 0 = 4\)
Vì cỡ mẫu bằng \(10\) là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là \(Q_2 = 2\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(0; 1; 1; 2; 2\)
\(\Rightarrow Q_1 = 1\)
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(2; 2; 3; 3; 4\)
\(\Rightarrow Q_3 = 3\)
Khoảng tứ phân vị \(\Delta_{Q} = Q_3 \ – \ Q_1 = 3 \ – \ 1 = 2\)
\(\)
Bài \(4\). Hãy so sánh số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của ba mẫu số liệu sau:
Mẫu \(1\): \(0,1; 0,3; 0,5; 0,5; 0,3; 0,7\).
Mẫu \(2\): \(1,1; 1,3; 1,5; 1,5; 1,3; 1,7\).
Mẫu \(3\): \(1; 3; 5; 5; 3; 7\).
Trả lời:
- Xét mẫu \(1\):
Số trung bình:
\(\overline{x_1} = \displaystyle \frac{0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,5 + 0,3 + 0,7}{6}\)
\(= 0,4\)
Phương sai: \(S_{1}^2 = \displaystyle \frac{1}{6}.\)
\(\left(0,1^2 + 0,3^2 + 0,5^2 + 0,5^2 + 0,3^2 + 0,7^2\right) \ – \ 0,4^2\)
\(\approx 0,0367\)
Độ lệch chuẩn \(S_1 = \sqrt{S_{1}^2} \approx 0,19\)
- Xét mẫu \(2\):
Số trung bình:
\(\overline{x_2}= \displaystyle \frac{1,1 + 1,3 + 1,5 + 1,5 + 1,3 + 1,7}{6}\)
\(= 1,4\)
Phương sai:
\(S_{2}^2 = \displaystyle \frac{1}{6}.\)
\(\left(1,1^2 + 1,3^2 + 1,5^2 + 1,5^2 + 1,3^2 + 1,7^2\right)\)
\(\ – \ 1,4^2 \approx 0,0367\)
Độ lệch chuẩn \(S_2 = \sqrt{S_{2}^2} \approx 0,19\)
- Xét mẫu \(3\)
Số trung bình:
\(\overline{x_3} = \displaystyle \frac{1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 7}{6}\)
\( = 4\)
Phương sai:
\(S_{3}^2 = \displaystyle \frac{1}{6}. \left(1^2 + 3^2 + 5^2 + 5^2 + 3^2 + 7^2\right)\)
\(\ – \ 4^2 \approx 3,67\)
Độ lệch chuẩn \(S_3 = \sqrt{S_{3}^2} \approx 1,9\)
- So sánh:
\(+\) Số trung bình của mẫu \(2\) lớn hơn số trung bình của mẫu \(1\) là \(1\) đơn vị, phương sai và độ lệch chuẩn của hai mẫu \(1\) và \(2\) bằng nhau.
\(+\) Số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu \(3\) lớn gấp \(10\) lần mẫu \(1\), phương sai mẫu \(3\) gấp \(100\) lần phương sai của mẫu \(1\)
\(\)
Bài \(5\). Sản lượng lúa các năm từ \(2014\) đến \(2018\) của hai tỉnh Thái Bình và Hậu Giang được cho ở bảng sau (đơn vị: nghìn tấn):
\(a)\) Hãy tính độ lệch chuẩn và khoảng biến thiên của sản lượng lúa từng tỉnh.
\(b)\) Tỉnh nào có sản lượng lúa ổn định hơn? Tại sao?
Trả lời:
- Thái Bình:
Số trung bình sản lượng lúa là:
\(\overline{x} = \displaystyle \frac{1061,9 + 1061,9 + 1053,6 + 942,6 + 1030,4}{5}\)
\(= 1030,08\)
Phương sai:
\(S^2 = \displaystyle \frac{1}{5}\)
\(.\left(1061,9^2 + 1061,9^2 + 1053,6^2 + 942,6^2 + 1030,4^2\right)\)
\( \ – \ 1030,08^2 = 2046,2\)
\(\Rightarrow\) Độ lệch chuẩn là:
\(S = \sqrt{S^2} = \sqrt{2046,2} \approx 45,2\)
Khoảng biến thiên \(R = 1061,9 \ – \ 942,6 = 119,3\)
- Hậu Giang:
Số trung bình sản lượng lúa là:
\(\overline{x} = \displaystyle \frac{1204,6 + 1293,1 + 1231,0 + 1261,0 + 1246,1}{5}\)
\(= 1247,16\)
Phương sai:
\(S^2 = \displaystyle \frac{1}{5}.\)
\(\left(1204,6^2 + 1293,1^2 + 1231,0^2 + 1261,0^2 + 1246,1^2\right)\)
\(\ – \ 1247,16^2 = 875,13\)
\(\Rightarrow\) Độ lệch chuẩn: \(S = \sqrt{S^2} \approx 29,6\)
Khoảng biến thiên:
\(R = 1293,1 \ – \ 1204,6 = 88,5\)
\(b)\) So sánh khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của tỉnh Hậu Giang ta đều thấy thấp hơn tỉnh Thái Bình. Tức là tỉnh Hậu Giang có sản lượng lúa ổn định hơn.
\(\)
Bài \(6\). Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy \(A\) và \(B\) được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
\(a)\) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy \(A\) và nhà máy \(B\).
\(b)\) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?
Trả lời: \(a)\)
- Nhà máy \(A\)
\(+\) Số trung bình mức lương hằng tháng là:
\(\overline{x_A} = \displaystyle \frac{4 + 5 + 5 + 47 + 5 + 6 + 4 + 4}{8} = 10\)
\(+\) Giá trị \(4\) và \(5\) có tần số lớn nhất (bằng \(3\)) nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy \(A\) là \(4\) và \(5\).
\(+\) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
\(4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47\)
Vì cỡ mẫu bằng \(8\) là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là:
\(Q_{2A} = \displaystyle \frac{1}{2} (5 + 5) = 5\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(4; 4; 4; 5.\)
\(\Rightarrow Q_{1A} = 4\)
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(5; 5; 6; 47.\)
\(\Rightarrow Q_{3A} = 5,5\)
\(+\) Phương sai của mẫu là:
\(S_{A}^2 = \displaystyle \frac{1}{8} (4^2 + 5^2 + 5^2 + 47^2 + 5^2 + 6^2\)
\(+ 4^2 + 4^2) \ – \ 10^2 = 196\).
\(+\) Độ lệch chuẩn là:
\(S_{A} = \sqrt{S_{A}^2} = \sqrt{196} = 14\)
- Nhà máy \(B\)
\(+\) Số trung bình mức lương hàng tháng là:
\(\overline{x_B} = \displaystyle \frac{2 + 9 + 9 + 8 + 10 + 9 + 9 + 11 + 9}{9}\)
\(\approx 8,4\)
\(+\) Giá trị \(9\) có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy \(B\) là \(9\)
\(+\) Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
\(2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11\)
Vì cỡ mẫu bằng \(9\) là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là:
\(Q_{2B} = 9\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu: \(2; 8; 9; 9\)
\(\Rightarrow Q_{1B} = 8,5\)
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu: \(9; 9; 10; 11\)
\(\Rightarrow Q_{3B} = 9,5\)
\(+\) Phương sai của mẫu là:
\(S_{B}^2 = \displaystyle \frac{1}{9} (2^2 + 8^2 + 9^2 + 9^2 + 9^2\)
\(+ 9^2 + 9^2 + 10^2 + 11^2) \ – \ 8,4^2 = 6,55\)
\(+\) Độ lệch chuẩn của mẫu:
\(S_{B} = \sqrt{S_{B}^2} = \sqrt{6,55} \approx 2,6\)
\(b)\)
- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy \(A\) là:
\(\Delta{Q_{A}} = 5,5 \ – \ 4 = 1,5\)
Ta có: \(Q_{3A} + 1,5\Delta{Q_{A}} = 5,5 + 1,5. 1,5 = 7,75\)
\(Q_{1A} \ – \ 1,5\Delta_{Q_{A}} = 4 \ – \ 1,5. 1,5 = 1,75\)
\(\Rightarrow\) Giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu nhà máy \(A\) là \(47\)
- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy \(B\) là:
\(\Delta{Q_{B}} = 9,5 \ – \ 8,5 = 1\)
Ta có: \(Q_{3B} + 1,5\Delta_{Q_{B}} = 9,5 + 1,5. 1 = 11\)
\(Q_{1B} \ – \ 1,5\Delta_{Q_{B}} = 8,5 \ – \ 1,5. 1 = 7\)
\(\Rightarrow\) Giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu ở nhà máy \(B\) là \(2\)
Do phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở nhà máy \(A\) cao hơn nhà máy \(B\) nên mức lương hằng tháng nhà máy \(A\) có độ phân tán cao hơn nhà máy \(B\). Vì vậy mức lương của công nhân nhà máy \(B\) ổn định hơn nhà máy \(A\).
Hơn nữa, mức lương xuất hiện nhiều nhất trong mẫu \(A\) là \(4\) và \(5\) trong khi nhà máy \(B\) là \(9\)
Suy ra công nhân nhà máy \(B\) có mức lương cao hơn (đồng đều và ổn định hơn).
Bài 4. Các số đặc trưng Bài 4. Các số đặc trưng Bài 4. Các số đặc trưng Bài 4. Các số đặc trưng Bài 4. Các số đặc trưng Bài 4. Các số đặc trưng
Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-3-cac-so-dac-trung/
Xem bài giải tiếp theo: https://bumbii.com/bai-tap-cuoi-chuong-vi/
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-toan-lop-10-nxb-chan-troi-sang-tao
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.