Bài tập cuối chương V

Bài \(5\). Bài tập cuối chương \(V\) trang \(102\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}\). Các khẳng định sau đúng hay sai?
\(a)\) Nếu hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương.
\(b)\) Nếu hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng.

Trả lời:

\(a)\) \(+)\) Vectơ \(\overrightarrow{a}\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{c}\) nên giá của vectơ \(\overrightarrow{a}\) hoặc song song hoặc trùng với giá của vectơ \(\overrightarrow{c}\)

\(+)\) Vectơ \(\overrightarrow{b}\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{c}\) nên giá của vectơ \(\overrightarrow{b}\) hoặc song song hoặc trùng với giá của vectơ \(\overrightarrow{c}\)

\(\Rightarrow\) Vectơ \(\overrightarrow{a}\) và vectơ \(\overrightarrow{b}\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{c}\) nên giá của vectơ \(\overrightarrow{a}\) và giá của vectơ \(\overrightarrow{b}\) hoặc song song hoặc trùng nhau tức là hai vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) cùng phương với nhau.

\(b)\) Giả sử vectơ \(\overrightarrow{c}\) có hướng từ \(A\) sang \(B\)

\(+)\) Vectơ \(\overrightarrow{a}\) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow{c}\) nên vectơ \(\overrightarrow{a}\) có giá song song hoặc trùng với giá của vectơ \(\overrightarrow{c}\) và có chiều từ \(B\) sang \(A\).

\(+)\) Vectơ \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow{c}\) nên vectơ \(\overrightarrow{b}\) có giá song song hoặc trùng với giá của vectơ \(\overrightarrow{c}\) và có chiều từ \(B\) sang \(A\).

\(\Rightarrow\) Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có cùng phương và có cùng chiều từ \(B\) sang \(A\) nên hai vectơ cùng hướng.

\(\)

Bài \(2\). Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo và \(AB = a, BC = 3a\).
\(a)\) Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}\).
\(b)\) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng \(\displaystyle \frac{a\sqrt{10}}{2}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có:

\(AC = BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (3a)^2}\)

\(= \sqrt{10a^2} = a\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}| = AC = BD = a\sqrt{10}\)

\(b)\) \(O\) là giao điểm của hai đường chéo nên ta có:

\(AO = OC = BO = OD = \displaystyle \frac{a\sqrt{10}}{2}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{AO}| = |\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{BO}| = |\overrightarrow{OB}|\)

\(= |\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{CO}| = |\overrightarrow{OD}| = |\overrightarrow{DO}|\)

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Hai vectơ \(\overrightarrow{AO}\) và \(\overrightarrow{CO}\) ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên chúng đối nhau.

Hai vectơ \(\overrightarrow{OC}\) và \(\overrightarrow{OC}\) ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên chúng đối nhau.

Hai vectơ \(\overrightarrow{OD}\) và \(\overrightarrow{OB}\) ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên chúng đối nhau.

Hai vectơ \(\overrightarrow{BO}\) và \(\overrightarrow{DO}\) ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên chúng đối nhau.

Vậy các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng \(\displaystyle \frac{a\sqrt{10}}{2}\) trong hình là:

\(\overrightarrow{AO}\) và \(\overrightarrow{CO}\); \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OC}\); \(\overrightarrow{BO}\) và \(\overrightarrow{DO}\); \(\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{OD}\).

\(\)

Bài \(3\). Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và có góc \(A = 60^o\). Tìm độ dài các vectơ sau:
\(\overrightarrow{p} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AD}\);

\(\overrightarrow{v} = 2 \overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC}\).

Trả lời:

\(ABCD\) là hình thoi nên ta có: \(AB = BC = CD = DA = a\)

Xét tam giác \(ABD\) có: \(AB = AD = a\) và góc \(\widehat{BAD} = 60^o\)

\(\Rightarrow\) Tam giác \(ABD\) đều

\(\Rightarrow DB = AB =AD = a\)

Ta có: \(\widehat{ADC} = 180^o \ – \ \widehat{BAD} = 180^o \ – \ 60^o = 120^o\)

Áp dụng định lí \(\text{ côsin }\) trong tam giác \(ACD\) ta có:

\(AC^2 = AD^2 + DC^2 \ – \ 2. AD. DC. \cos{ADC}\)

\(= a^2 + a^2 \ – \ 2. a. a.\cos120^o = 3a^2\)

\(\Rightarrow AC = a\sqrt{3}\)

Hình thoi \(ABCD\) cũng là hình bình hành nên áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

\(\overrightarrow{p} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{p}| = |\overrightarrow{AC}| = a\sqrt{3}\)

\(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{DB}| = a\)

\(\overrightarrow{v} = 2 \overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC})\)

\(= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{v}| = |\overrightarrow{DB}| = a\).

\(\)

Bài \(4\). Cho hình bình hành \(ABCD\). Hai điểm \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\). Vẽ điểm \(E\) sao cho \(\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AN}\) (Hình \(1\)).

\(a)\) Tìm tổng của các vectơ \(\overrightarrow{NC}\) và \(\overrightarrow{MC}, \overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{CD}; \overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{NC}\).
\(b)\) Tìm các vectơ hiệu \(\overrightarrow{NC} \ – \ \overrightarrow{MC}; \overrightarrow{AC} \ – \ \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{ME}\).
\(c)\) Chứng minh \(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AN}\)

\(\Rightarrow CE\) \(// AN\) và \(CE = AN = ND = BM = MC\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CE}\). Suy ra:

\(\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{NE}\).

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BM}\)

\(AMCN\) có \(AN // MC\) và \(AN = MC\) nên \(AMCN\) là hình bình hành

\(\Rightarrow \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{AM}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AE}\) ( xét trong hình bình hành \(ADEM\) do \(AD\) \(// EM\) và \(AD = EM\)).

\(b)\)

\(\overrightarrow{NC} \ – \ \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{NM}\)
\(\overrightarrow{AC} \ – \ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}\).

\(c)\) Ta có: \(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC}\) (Quy tắc hình bình hành đối với hình bình hành \(AMCN\))

Lại có: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\) (Quy tắc hình bình hành đối với hình bình hành \(ABCD\))

\(\Rightarrow \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(5\). Cho \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) là hai vectơ khác vectơ \(\overrightarrow{0}\). Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?
\(a)\) \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}|\);
\(b)\) \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} \ – \ \overrightarrow{b}|\).

Trả lời:

\(a)\) \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = \left(|\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{a}^2 + \overrightarrow{b}^2 + 2. \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2\)

\(+ 2. |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|. \cos{\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right)} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}| \)

\(\Leftrightarrow \cos{\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right)} = 1\)

\(\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = 0^o\) hay hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương.

Vậy đẳng thức \(a)\) đúng khi hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương.

\(b)\) Ta có: \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} \ – \ \overrightarrow{b}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a} \ – \ \overrightarrow{b}|^2\)

\(\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\right)^2 = \left(\overrightarrow{a} \ – \ \overrightarrow{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{a}^2 + \overrightarrow{b}^2 + 2. \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}^2 + \overrightarrow{b}^2 \ – \ 2. \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = \ – \ \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = 0\)

\(\Leftrightarrow \cos{\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right)} = 90^o\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\)

Vậy đẳng thức \(b)\) đúng khi hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau.

\(\)

Bài \(6\). Cho \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 0\). So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).

Trả lời:

Ta có: \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 0\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = 0\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{a} = \ – \ \overrightarrow{b}\)

Khi đó hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đối nhau.

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương, ngược chiều và có cùng độ lớn.

\(\)

Bài \(7\). Cho bốn điểm \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.

Trả lời:

Với bốn điểm \(A, B, C, F\) ta có: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} AB = CD\\ AB \text{ // } CD \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow ABCD\) là hình bình hành

Theo tính chất của hình bình hành ta lại có: Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và ngược lại, tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Hay nói cách khác giao điểm của hai đường chéo \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

\(\)

Bài \(8\). Cho tam giác \(ABC\). Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành \(ABIJ, BCPQ, CARS\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS} = \overrightarrow{0}\).

Trả lời:

Ta có: \(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS} = \left(\overrightarrow{RA} + \overrightarrow{AJ}\right)\)

\(+ \left(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BQ}\right) + \left(\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CS}\right)\)

\(= \left(\overrightarrow{RA} + \overrightarrow{CS}\right) + \left(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{AJ}\right)\)

\(+ \left(\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PQ}\right)\)

\(= \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}\)

Vậy \(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS} = \overrightarrow{0}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(9\). Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ \(45 m/s\), mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là \(38 m/s\) theo hướng nghiêng một góc \(20^o\) về phía tây bắc (Hình \(2\)). Tính tốc độ của gió.

Trả lời:

Theo bài ra ta có:

\(\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{v_2}\) lần lượt là vectơ vận tốc của máy bay, vectơ vận tốc của máy bay so với mặt đất, vectơ vận tốc của gió.

Suy ra: \(|\overrightarrow{v_1}| = 45; |\overrightarrow{v}| = 38; \left(\overrightarrow{v}, \overrightarrow{v_1}\right) = 20^o\)

Áp dụng định lí \(\text{ côsin }\) ta có:

\(|\overrightarrow{v_2}|^2 = |\overrightarrow{v}|^2 + |\overrightarrow{v_1}|^2 \ – \ 2. |\overrightarrow{v}|. |\overrightarrow{v_1}|. \cos{\left(\overrightarrow{v}, \overrightarrow{v_1}\right)}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{v_2}|^2 = 38^2 + 45^2 \ – \ 2. 38. 45. \cos20^o\)

\( \approx 255,25\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{v_2}| \approx \sqrt{255,25} \approx 15,98\)

Vậy tốc độ của gió khoảng \(15,98 m/s\)

\(\)

Bài \(10\). Cho tam giác đều \(ABC\) có \(O\) là trọng tâm và \(M\) là một điểm tuỳ ý trong tam giác. Gọi \(D, E, F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} = \displaystyle \frac{3}{2}. \overrightarrow{MO}\).

Trả lời:

Qua \(M\) ta kẻ \(HR // AB; QS // BC; PK // AC\) với \(P, Q \in AB, H, K \in BC; R, S \in AC\)

Khi đó ta có các hình bình hành \(APMR, BQMH, CKMS\)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

\(\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{MA}; \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{MH} = \overrightarrow{MB};\)

\(\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{MS} = \overrightarrow{MC}\) \((1)\)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60^o\)

Xét tam giác \(MHK\) ta có:

\(\left \{\begin{matrix} MH // AB\\ MK // AC \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \left \{\begin{matrix} \widehat{MHK} = \widehat{B} = 60^o\\ \widehat{MKH} = \widehat{C} = 60^o \end{matrix} \right.\) ( các góc ở vị trí đồng vị)

\(\Rightarrow \Delta{MHK}\) là tam giác đều

\(\Rightarrow\) đường cao \(MD\) đồng thời là đường trung tuyến

\(\Rightarrow D\) là trung điểm của \(HK\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MH} + \overrightarrow{MK} = 2. \overrightarrow{MD}\) \((2)\)

Chứng minh tương tự ta được:

\(\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} = 2. \overrightarrow{MF}\) \((3)\)

\(\overrightarrow{MR} + \overrightarrow{MS} = 2. \overrightarrow{ME}\) \((4)\)

Cộng vế với vế của \((2)\), \((3)\) và \((4)\) ta được:

\(\overrightarrow{MH} + \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ}\)

\( + \overrightarrow{MR} + \overrightarrow{MS} = 2. \overrightarrow{MD} + 2. \overrightarrow{MF}\)

\( + 2. \overrightarrow{ME}\)

\(\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{MH} + \overrightarrow{MQ} \right) + \left(\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{MS} \right)\)

\(+ \left(\overrightarrow{MR} + \overrightarrow{MP} \right) = 2. \left(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} \right)\) \((5)\)

Thay \((1)\) vào \((5)\) ta được:

\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2. \left(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} \right)\)

Mà \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên:

\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3. \overrightarrow{MO}\)

\(\Rightarrow 3. \overrightarrow{MO} = 2. \left(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} = \displaystyle \frac{3}{2}. \overrightarrow{MO}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(11\). Một xe goòng được kéo bởi một lực \(\overrightarrow{F}\) có độ lớn là \(50 N\) di chuyển theo quãng đường từ \(A\) đến \(B\) có chiều dài \(200 m\). Cho biết góc giữa \(\overrightarrow{F}\) và \(\overrightarrow{AB}\) là \(30^o\) và \(\overrightarrow{F}\) được phân tích thành hai lực \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}\) (Hình \(3\)). Tính công sinh bởi các lực \(\overrightarrow{F}, \overrightarrow{F_1}\) và \(\overrightarrow{F_2}\).

Trả lời:

Theo bài ra ta có: \(|\overrightarrow{F}| = 50 N\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F}|. \sin30^o = 50. \displaystyle \frac{1}{2} = 25 N\)

\(|\overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{F}|. \cos30^o = 50. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} N\)

Nhìn vào hình vẽ ta thấy:

\(\left(\overrightarrow{F}, \overrightarrow{d}\right) = 30^o\); \(\left(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{d}\right) = 90^o\);

\(\left(\overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{d}\right) = 0^o\)

Từ đó suy ra:

Công sinh ra bởi lực \(\overrightarrow{F}\) là:

\(A = \overrightarrow{F}. \overrightarrow{d} = |\overrightarrow{F}|. |\overrightarrow{d}|. \cos{\left(\overrightarrow{F}, \overrightarrow{d}\right)}\)

\( = 50. 200. \cos30^o = 5000\sqrt{3} (J)\)

Công sinh ra bởi lực \(\overrightarrow{F_1}\) là:

\(A_1 = \overrightarrow{F_1}. \overrightarrow{d} = |\overrightarrow{F_1}|. |\overrightarrow{d}|. \cos{\left(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{d}\right)}\)

\(= 25. 200. \cos90^o = 0 (J)\)

Công sinh ra bởi lực \(\overrightarrow{F_2}\) là:

\(A_2 = \overrightarrow{F_2}. \overrightarrow{d} = |\overrightarrow{F_2}|. |\overrightarrow{d}|. \cos{\left(\overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{d}\right)}\)

\(= 25\sqrt{3}. 200. \cos0^o = 5000\sqrt{3} (J)\)

Vậy \(A = 5000\sqrt{3} J, A_1 = 0 J, A_2 = 5000\sqrt{3} J\)

\(\)
Bài \(12\). Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ \(0,75 m/s\). Tuy nhiên dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ \(1,20 m/s\) về hướng bên phải. Gọi \(\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \overrightarrow{v}\) lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.
\(a)\) Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \overrightarrow{v}\).
\(b)\) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?
\(c)\) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Trả lời:

\(a)\) Vectơ \(\overrightarrow{v_1}\) là vectơ vận tốc của thuyền so với dòng nước nên \(|\overrightarrow{v_1}| = 0,75\)

Vectơ \(\overrightarrow{v_2}\) là vectơ vận tốc của dòng nước so với bờ nên \(|\overrightarrow{v_2}| = 1,20\)

Vectơ \(\overrightarrow{v}\) là vectơ vận tốc của thuyền so với bờ.

\(\Rightarrow\)\(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2}\)

Do vectơ \(\overrightarrow{v_1} \perp \overrightarrow{v_2}\) nên áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

\(|\overrightarrow{v}|^2 = |\overrightarrow{v_1}|^2 + |\overrightarrow{v_2}|^2\)

\(= 0,75^2 + 1,20^2 = 2,0025\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{v}| = \sqrt{2,0025} = \displaystyle \frac{3\sqrt{89}}{20}\)

\(b)\) Vectơ \(\overrightarrow{v}\) là vectơ vận tốc của thuyền so với bờ nên tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là: \(|\overrightarrow{v}| = \displaystyle \frac{3\sqrt{89}}{20} m/s\)

\(c)\) Nước di chuyển song song với bờ nên hướng di chuyển của thuyền so với bờ tương đương với hướng di chuyển của thuyền so với dòng nước.

Suy ra góc lệch giữa hướng di chuyển của thuyền so với bờ là \(\left(\overrightarrow{v}, \overrightarrow{v_2}\right)\)

Ta có: \(\sin{\left(\overrightarrow{v}, \overrightarrow{v_2}\right)} = \displaystyle \frac{|\overrightarrow{v_1}|}{|\overrightarrow{v}|} = \displaystyle \frac{0,75}{\displaystyle \frac{3\sqrt{89}}{20}} = \displaystyle \frac{5\sqrt{89}}{89}\)

\(\Rightarrow \left(\overrightarrow{v}, \overrightarrow{v_2}\right) \approx 32^o\)

Vậy hướng di chuyển của thuyền lệch một góc khoảng \(32^o\) so với bờ.

Bài tậ\(a)\) p cuối chương V

Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-4-tich-vo-huong-cua-hai-vecto/
Xem bài giải tiếp theo: https://bumbii.com/bai-1-sai-so-va-so-gan-dung/
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-toan-lop-10-nxb-chan-troi-sang-tao

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech