Bài \(3\). Tích của một số với một vectơ trang \(94\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
Bài \(1\). Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm hai đường chéo. Với \(M\) là điểm tuỳ ý, chứng minh rằng:
\(a)\) \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AC}\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\)
\(= (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC})\)
\(+ (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC}) = 4\overrightarrow{MO} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})\)
\(= 4\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} = 4\overrightarrow{MO}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO}\).
\(b)\) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên ta có:
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})+ \overrightarrow{AC}\)
\(= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AC}\) (đpcm).
\(\)
Bài \(2\). Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC})\)
\(+ \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND})\)
\(= (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MN})\)
\(+ (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND}) = \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}\) (đpcm)
\(b)\) Ta cũng có:
\(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC})\)
\(+ (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND})\)
\(= (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{AM}) + (\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MN})\)
\(+ (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND}) = 2 \overrightarrow{MN}\)
Kết hợp với câu \(a)\) suy ra:
\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} (= 2 \overrightarrow{MN})\) (đpcm).
\(\)
Bài \(3\). Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Xác định điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}\).
Trả lời:
Ta có: \(\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA}) + 4\overrightarrow{MB} =\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow 5\overrightarrow{MB} = \ – \ \overrightarrow{BA}\)
\(\Leftrightarrow 5\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}\)
Vậy ta xác định điểm \(M\) như sau: ba điểm \(A, M, B\) thẳng hàng; \(M \)nằm giữa \(A\) và \(B\) sao cho: \(MB = \displaystyle \frac{1}{5}. AB\)
\(\)
Bài \(4\). Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E, F, G\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AB, CD, EF\). Lấy điểm \(M\) tuỳ ý, chứng minh rằng: \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MG}\).
Trả lời:
Ta có: \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\)
\(= (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EA}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EB})\)
\(+ (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{FC}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{FD})\)
\(= (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG})\)
\(+ 2( \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{GF}) + (\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB})\)
\(+ (\overrightarrow{FC} + \overrightarrow{FD})\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\)
\( = 4.\overrightarrow{MG} + 2. \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4 \overrightarrow{MG}\) (đpcm)
\(\)
Bài \(5\). Máy bay \(A\) đang bay về hướng đông bắc với tốc độ \(600\) \(km/h\) . Cùng lúc đó máy bay \(B\) đang bay về hướng tây nam với tốc độ \(800\) \(km/h\). Biểu diễn vectơ vận tốc \(\overrightarrow{b}\) của máy bay \(B\) theo vectơ vận tốc \(\overrightarrow{a}\) của máy bay \(A\).
Trả lời:
Vì các vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) lần lượt là vectơ vận tốc của máy bay \(A, B\)
Nên \(| \overrightarrow{a}|, | \overrightarrow{b}|\) lần lượt là độ lớn của các vectơ vận tốc tương ứng.
\(\Rightarrow | \overrightarrow{a}| = 600; |\overrightarrow{b}| = 800\)
\(\Rightarrow \displaystyle \frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|} = \displaystyle \frac{800}{600} = \displaystyle \frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{b}| = \displaystyle \frac{4}{3}. |\overrightarrow{a}|\)
Mà hướng đông bắc và tây nam ngược nhau nên suy ra:
\(\overrightarrow{b} = \ – \ \displaystyle \frac{4}{3}. \overrightarrow{a}\).
\(\)
Bài \(6\). Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\).
\(a)\) Xác định điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0}\).
\(b)\) Chứng minh rằng với mọi điểm \(M\), ta có: \(\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = 4\overrightarrow{MO}\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} = \ – \ 3\overrightarrow{OB}\)
Do đó, ba điểm \(A, O, B\) thẳng hàng, \(O\) nằm giữa \(A\) và \(B\) sao cho hai vectơ \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\) ngược hướng thoả mãn: \(|\overrightarrow{OA}| = 3 |\overrightarrow{OB}|\)
Khi đó, \(O \in\) đoạn \(AB\) sao cho: \(OA = 3 OB\)
\(b)\) Với điểm \(M\) bất kì, ta có:
\(\overrightarrow{MA} + 3 \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA}) + 3( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB})\)
\(= \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} + 3 \overrightarrow{MO} + 3 \overrightarrow{OB}\)
\(= 4 \overrightarrow{MO} + (\overrightarrow{OA} + 3 \overrightarrow{OB})\)
\(= 4 \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{0} = 4 \overrightarrow{MO}\) (đpcm)
Vậy với mọi điểm \(M\) bất kì ta có:
\(\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = 4\overrightarrow{MO}\).
\(\)
Bài \(7\). Cho tam giác \(ABC\).
\(a)\) Xác định các điểm \(M, N, P\) thoả mãn: \(\overrightarrow{MB} = \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AN} =3\overrightarrow{NB}, \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{PA}\).
\(b)\) Biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA}\).
\(c)\) Chứng minh ba điểm \(M N, P\) thẳng hàng.
Trả lời:
\(a)\) Ta có:
- \(\overrightarrow{MB} = \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow\) Ba điểm \(M, B, C\) thẳng hàng và vectơ \(\overrightarrow{MB}\) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow{BC}\) sao cho: \( |\overrightarrow{MB}| = \displaystyle \frac{1}{2} |\overrightarrow{BC}|\) hay \( MB = \displaystyle \frac{1}{2}. BC\).
- \(\overrightarrow{AN} =3\overrightarrow{NB}\)
\(\Rightarrow\) Ba điểm \(A, N, B\) thẳng hàng và vectơ \(\overrightarrow{AN}\) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow{NB}\) sao cho: \(|\overrightarrow{AN}| = 3 |\overrightarrow{NB}|\) hay \( AN = 3 NB\).
- \(\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{PA}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{PA} \ – \ \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow P\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).
\(b)\)
- \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN}\)
Mà \(AN = 3 NB \Rightarrow BN = \displaystyle \frac{1}{4} BA\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BN} = \displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{BA}\)
Từ đó suy ra: \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}. \overrightarrow{BC} + \displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{BA}\)
- \(\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CP}\)
Vì \(MB = \displaystyle \frac{1}{2} BC\) nên suy ra \(MC = \displaystyle \frac{3}{2} BC\) hay \(\overrightarrow{MC} = \displaystyle \frac{3}{2} \overrightarrow{BC}\)
Lại có \(P\) là trung điểm của \(CA\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{CP} = \displaystyle \frac{1}{2}. \overrightarrow{CA}\)
Từ đó suy ra: \(\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CP}\)
\(= \displaystyle \frac{3}{2} \overrightarrow{BC} + \displaystyle \frac{1}{2}. \overrightarrow{CA}\)
\(= \displaystyle \frac{3}{2} \overrightarrow{BC} + \displaystyle \frac{1}{2} (\overrightarrow{BA} \ – \ \overrightarrow{BC})\)
\(= \left(\displaystyle \frac{3}{2} \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} \right). \overrightarrow{BC} + \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\)
\( = \overrightarrow{BC} + \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\).
Vậy: \(\overrightarrow{MN} = \displaystyle \frac{1}{2}. \overrightarrow{BC} + \displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{BA}\)
\(\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{BC} + \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\).
\(c)\) Theo câu \(b)\) ta được:
\(\overrightarrow{MN} = \displaystyle \frac{1}{2}. \overrightarrow{BC} + \displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{BA} = \displaystyle \frac{1}{2} \left(\overrightarrow{BC} + \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} \right)\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}. \overrightarrow{MP}\)
Suy ra \(\overrightarrow{MN} = \displaystyle \frac{1}{2}. \overrightarrow{MP}\)
\(\Rightarrow\) Ba điểm \(M, N, P\) thẳng hàng (đpcm)
Bài 3. Tích của một số với một vectơ
Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-2-tong-va-hieu-cua-hai-vecto/
Xem bài giải tiếp theo: https://bumbii.com/bai-4-tich-vo-huong-cua-hai-vecto/
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-toan-lop-10-nxb-chan-troi-sang-tao
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.