Bài tập cuối chương 8 trang 65 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Chân Trời Sáng Tạo.
\(1.\) Cho tam giác ABC có \(\widehat{A} =\widehat{B} +\widehat{C}\). Hai đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại O.
a) Tính số đo góc A.
b) Tính số đo góc BOC.
Giải
a) Xét tam giác ABC có \(\widehat{A} +\widehat{B} +\widehat{C}=180^o\)
mà \(\widehat{A} =\widehat{B} +\widehat{C}\)
⇒\(\widehat{A}+\widehat{A}=180^o\)
⇒\(2.\widehat{A}=180^o⇒\widehat{A}=90^o\)
b) Vì O là giao điểm của 2 đường phân giác của góc B và C nên ta có:
\(\widehat{OBC}=\displaystyle\frac{\widehat{B}}{2};\ \widehat{OCB}=\displaystyle\frac{\widehat{C}}{2}.\)
Xét \(\Delta OBC\) ta có:
\(\widehat{BOC} =180^o – (\widehat{OBC} +\widehat{OCB}).\)
\(\widehat{BOC} =180^o-\displaystyle\frac{\widehat{B} +\widehat{C}}{2}\)
\(\widehat{BOC} =180^o-\displaystyle\frac{90^o}{2}=180^o-45^o=135^o.\)
\(\)
\(2.\) Cho tam giác ABC có M là điểm đồng quy của ba đường phân giác. Qua M vẽ đường thẳng song song với BC và cắt AB, AC lần lượt tại N và P. Chứng minh rằng NP = BN + CP.
Giải
Ta có MN//BC, do đó \(\widehat{M_1} =\widehat{B_1}\) (so le trong).
BM là phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên \(\widehat{B_1} = \widehat{B_2}.\)
Dẫn đến \(\widehat{M_1} =\widehat{B_2}\), suy ra \(\Delta BNM\) cân tại N, do đó MN = BN.
Ta có MP//BC, do đó \(\widehat{M_2} =\widehat{C_2}\) (so le trong).
CM là phân giác của \(\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{C_1} = \widehat{C_2}.\)
Dẫn đến \(\widehat{M_2} =\widehat{C_1}\), suy ra \(\Delta CPM\) cân tại P, do đó MP = CP.
Ta có NP = MN + MP = BN + CP.
Vậy NP = BN + CP.
\(\)
\(3.\) Cho tam giác ABC có M là giao điểm của hai phân giác của góc B và góc C. Cho biết \(\widehat{BMC} = 132^o\). Tính số đo các góc \(\widehat{MAB}\) và \(\widehat{MAC}\).
Giải
Trong \(\Delta MBC\) ta có:
\(\widehat{MBC} +\widehat{MCB} =180^0-\widehat{MBC}\) \(=180^o-132^o=48^o.\)
Do BM và CM là phân giác góc \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\) của \(\Delta ABC\) nên ta có:
\(\widehat{B} +\widehat{C} =2.(\widehat{MBC} +\widehat{MCB})=2.48^o=96^o\)
Suy ra \(\widehat{A} =180^o-96^o=84^o.\)
Do AM là phân giác góc A của tam giác ABC nên ta có:
\(\widehat{MAB} =\widehat{MAC}=\displaystyle\frac{\widehat{A}}{2}=\displaystyle\frac{84^o}{2}=42^o.\)
\(\)
\(4.\) Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên tia đối của tia BC lấy M so cho BM = BA. TRên tia đối của tia CB lấy N sao cho CN = CA.
a) Hãy so sánh các góc \(\widehat{AMB}\) và \(\widehat{ANC}\).
b) Hãy so sánh các đoạn AM và AN.
Giải
a) Ta có AB > AC, do đó \(\widehat{ACB} >\widehat{ABC}\) (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).
Suy ra \(\widehat{ACN} < \widehat{ABM}.\)
Vậy \(\widehat{ANC} >\widehat{AMB}.\)
b) Trong tam giác ANM, ta có \(\widehat{ANC} >\widehat{AMB}\), suy ra AM > AN.
\(\)
\(5.\) Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Tìm điểm M sao cho MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.
Giải
Trong \(\Delta ABM\) và \(\Delta CDM\) ta có: MA + MB ≥ AB; MC + MD ≥ CD (bất đẳng thức tam giác).
Suy ra MA + MB + MC + MD ≥ AB + CD.
MA + MB + MC + MD nhỏ nhất khi và chỉ khi MA + MB + MC + MD = AB + CD.
Điều này xảy ra khi M tùng với điểm O.
\(\)
\(6.\) a) Chứng minh trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến phát xuất từ cùng một đỉnh.
b) Chứng minh trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường phân giác phát xuất từ cùng một đỉnh.
Giải
a) Cho tam giác ABC. Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM.
Ta có: AH là đường vuông góc, suy ra AH ≤ AM (đường vuông góc luôn ngắn hơn tất cả các đường xiên).
Vậy trong một tam giác đường cao không lớn hơn đường trung tuyến phát xuất từ cùng một đỉnh.
b) Cho tam giác ABC. Vẽ đường cao AH và đường phân giác AD.
Ta có: AH là đường vuông góc, suy ra AH ≤ AD (đường vuông góc luôn ngắn hơn tất cả các đường xiên).
Vậy trong một tam giác đường cao không lớn hơn đường phân giác phát xuất từ cùng một đỉnh.
\(\)
\(7.\) Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại I. Vẽ IH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng \(\widehat{BIH}=\widehat{CID}.\)
Giải
AI là phân giác của góc ACB nên \(\widehat{IAC} =\displaystyle\frac{\widehat{A}}{2}.\)
CI là phân giác của góc ACB nên \(\widehat{ICA} =\displaystyle\frac{\widehat{C}}{2}.\)
Trong \(\Delta AIC\) ta có: \(\widehat{IAC} + \widehat{ICA}+\widehat{AIC}=180^0.\)
\(\Rightarrow \widehat{IAC} + \widehat{ICA}=180^0-\widehat{AIC}.\)
Ta có: \(\widehat{DIC}+\widehat{AIC}=180^o\) (hai góc kề bù).
Nên \(\widehat{DIC} =180^o-\widehat{AIC}.\)
\(\Rightarrow \widehat{DIC} =180^o-\widehat{AIC}=\widehat{IAC} +\widehat{ICA} =\displaystyle\frac{\widehat{A} +\widehat{C}}{2}.\)
Trong \(\Delta BHI\) vuông tại H ta có:
\(\widehat{BIH} =90^o-\displaystyle\frac{\widehat{B}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{B}}{2}=\displaystyle\frac{\widehat{A}+\widehat{C}}{2}=\widehat{DIC}.\)
Suy ra \(\widehat{BIH} =\widehat{CID}.\)
\(\)
\(8.\) Cho tam giác ABC cân tại A và cho \(\widehat{A} =124^o\). Vẽ đường cao BH và phân giác BK ứng với đỉnh B của tam giác ABC. Tính số đo các góc của tam giác BHK.
Giải
Trong tam giác ABC cân tại A ta có:
\(\widehat{B} =\widehat{C} =\displaystyle\frac{180^o-\widehat{A}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-124^o}{2}=28^o.\)
BK là phân giác của góc B nên:
\(\widehat{ABK}=\widehat{KBC}=\displaystyle\frac{\widehat{B}}{2}=\displaystyle\frac{28^o}{2}=14^o.\)
Ta có \(\widehat{HKB}=\widehat{AKB}=180^o-\widehat{BAK}-\widehat{ABK}\)
\(= 180^o-124^o-14^o=42^o.\)
Trong tam giác vuông BHK ta có \(\widehat{BHK} =90^o.\)
\(\widehat{HBK}=90^o-\widehat{HKB}=90^o-42^o=48^o.\)
\(\)
\(9.\) Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh AH là đường trung trực của BC.
Giải
Ta có AH là đường cao vuông góc với cạnh BC tại M.
Xét hai tam giác vuông ABM và ACM ta có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
Cạnh góc vuông AM chung
Do đó \(\Delta ABM=\Delta ACM\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra MB = MC.
AM vuông góc với BC, M là trung điểm của BC.
Vậy AH là đường trung trực của BC.
\(\)
\(10.\) Cho tam giác nhọn ABC. Hãy nêu cách tìm các điểm sau đây bên trong tam giác ABC.
a) Điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
b) Điểm N cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
c) Điểm P là trọng tâm của tam giác ABC.
d) Điểm Q là trực tâm của tam giác ABC.
Giải
a) Điểm M là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác ABC.
b) Điểm N là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác ABC.
c) Điểm P là giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác ABC.
d) Điểm Q là giao điểm của hai đường cao của tam giác ABC.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1: Làm quen với biến cố ngẫu nhiên
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
