Chương 8 – Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác trang 63 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Chân Trời Sáng Tạo.
\(1.\) Trong Hình 7. Hãy chứng minh AC, EK và BD cùng đi qua một điểm.
Giải
Gọi M là giao điểm của AC và BD.
Xét tam giác MAB có E là giao điểm của hai đường cao AD và BC.
Do đó E là trực tâm của tam giác MAB.
Suy ra ME phải là đường cao kẻ thứ ba ứng với cạnh AB.
Dẫn đến EK đi qua điểm M.
Vậy AC, EK và BD cùng đi qua điểm M.
\(\)
\(2.\) Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường trung tuyến AM. Qua A vẽ đường thảng d vuông góc với AM. Chứng minh d // BC.
Giải
Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
AM là cạnh chung
BM = CM (AM là trung tuyến)
Vậy \(\Delta AMB=\Delta AMC\) (c.c.c)
Suy ra \(\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = \displaystyle\frac{180^o}{2}=90^o.\)
Ta có d và BC cùng vuông góc với AM, suy ra d//BC.
\(\)
\(3.\) Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Vẽ hai đường cao AE và AF của hai tam giác ABC và ACD. Chứng minh góc EAF vuông.
Giải
Ta có: ΔABC cân tại A nên AE là đường cao đồng thời là đường phân giác của \(\widehat{BAC}.\)
Suy ra \(\widehat{EAC}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{BAC}\) (1)
Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Lại có: AD = AB (A là trung điểm của BD)
Suy ra: AD = AC
Do đó \(\Delta ADC\) cân tại A.
Trong \(\Delta ADC\) có: AF là đường cao nên đồng thời là đường phân giác của \(\widehat{CAD}.\)
Suy ra \(\widehat{FAC}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{DAC}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\widehat{EAC}+\widehat{FAC}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{BAC}+\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{DAC}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}(\widehat{BAC}+\widehat{DAC})\) (hai góc kề bù).
Hay \(\widehat{EAF}=\displaystyle\frac{1}{2}.180^o=90^o.\)
Suy ra góc EAF vuông.
\(\)
\(4.\) Cho tam giác ABC có \(\widehat{A} =65^o,\widehat{B} =54^o\). Vẽ trực tâm H của tam giác ABC. Tính góc AHB.
Giải
Ta có H là giao điểm của hai đường cao AE và BF.
Trong tam giác vuông ABE ta có:
\(\widehat{EAB} =90^o\ -\widehat{B} =90^o\ -54^o=36^o.\)
Trong tam giác vuông BAF ta có:
\(\widehat{FBA} =90^o \ \widehat{A} =90^o\ – 65^o=25^o.\)
Trong tam giác AHB ta có:
\(\widehat{AHB} =180^o\ -36^o\ -25^o=119^o.\)
\(\)
5. Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn và H là trực tâm. Cho biết \(\widehat{BHC} =150^o\). Tìm các góc của tam giác ABC.
Giải
Vẽ hai đường cao BE và CF của tam giác ABC.
Xét tam giác BHC, ta có:
\(\widehat{HBC} +\widehat{HCB} =180^o\ -150^o=30^o.\)
Xét hai tam giác vuông BCF và CBE ta có:
\(\widehat{B} +\widehat{C}=90^o-\widehat{HCB} + 90^o\ -\widehat{HBC}\)
\(\widehat{B} +\widehat{C}=180^o\ -(\widehat{HBC} +\widehat{HCB})\) \(=180^o\ -30^o=150^o.\)
Do tam giác ABC cân tại A nên ta có:
\(\widehat{B} =\widehat{C} =\displaystyle\frac{150^o}{2}=75^o;\)
\(\widehat{A} =180^o\ -(\widehat{B} +\widehat{C})=180^o\ – 150^o=30^o.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
