Bài 5: Phép chia đa thức một biến

Chương 6 – Bài 5: Phép chia đa thức một biến trang 53 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

41. Tính:

a) \(\left(\displaystyle\frac{3}{4}x^3\right):\left(-\displaystyle\frac{1}{2}x^2\right);\)

b) \((5x^n) : (4x^2)\ (n ∈ ℕ,\ n ≥ 2);\)

c) \((x^3-3x^2+6x):\left(-\displaystyle\frac{1}{3}x\right);\)

d) \(\left(x+\displaystyle\frac{1}{3}x^2+\displaystyle\frac{7}{2}x^3\right):(5x).\)

Giải

a) \(\left(\displaystyle\frac{3}{4}x^3\right):\left(-\displaystyle\frac{1}{2}x^2\right)\)

\(=\left[\displaystyle\frac{3}{4}:\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\right].(x^3:x^2)\)

\(=-\displaystyle\frac{3}{2}x.\)

b) \((5x^n) : (4x^2) = (5 : 4) . (x^n-x^2)=\displaystyle\frac{5}{4}x^{n-2}.\)

c) \((x^3-3x^2+6x):\left(-\displaystyle\frac{1}{3}x\right)\)

\(=\left[x^3:\left(-\displaystyle\frac{1}{3}x\right)\right]-\left[3x^2:\left(-\displaystyle\frac{1}{3}x\right)\right]+\left[6x:\left(-\displaystyle\frac{1}{3}x\right)\right]\)

\(=\left[1:\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)\right].(x^3:x)-[3:\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)].(x^2:x)+\left[6:\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)\right].(x:x)\)

\(=-3x^2 + 9x-18.\)

d) \(\left(x+\displaystyle\frac{1}{3}x^2+\displaystyle\frac{7}{2}x^3\right):(5x)\)

\(=(x:5x)+\left(\displaystyle\frac{1}{3}x^2:5x\right)+\left(\displaystyle\frac{7}{2}x^3:5x\right)\)

\(=(1:5).(x:x)+\left(\displaystyle\frac{1}{3}:5\right).(x^2:x)+\left(\displaystyle\frac{7}{2}:5\right).(x^3:x)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{5}+\displaystyle\frac{1}{15}x+\displaystyle\frac{7}{10}x^2.\)

\(\)

42. a) Cho đa thức \(P(x)=\left(6x^5-\displaystyle\frac{1}{2}x^4+\displaystyle\frac{1}{3}x^3\right):(2x^3).\) Rút gọn rồi tính giá trị của \(P(x)\) tại \(x =-2.\)

b) Cho đa thức \(Q(x)=3\left(\displaystyle\frac{2x}{3}-1\right)+(15x^2-10x):(-5x)-(3x-1).\) Rút gọn rồi tính giá trị của \(Q(x)\) tại \(x=\displaystyle\frac{1}{3}.\)

Giải

a) \(P(x)=\left(6x^5-\displaystyle\frac{1}{2}x^4+\displaystyle\frac{1}{3}x^3\right):(2x^3)\)

\(=(6x^5:2x^3)-\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^4:2x^3\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{3}x^3:2x^3\right)\)

\(=3x^2-\displaystyle\frac{1}{4}x+\displaystyle\frac{1}{6}.\)

Với \(x =-2\) thì giá trị đa thức \(P(x)\) là:

\(P(-2)=3.(-2)^2-\displaystyle\frac{1}{4}.(-2)+\displaystyle\frac{1}{6}\)

\(=3.4+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{38}{3}.\)

b) \(Q(x)=3\left(\displaystyle\frac{2x}{3}-1\right)+(15x^2-10x):(-5x)-(3x-1).\)

\(= 2x-3 + (-3x)+2-3x + 1=-4x.\)

Với \(x=\displaystyle\frac{1}{3}\) thì giá trị đa thức \(Q(x)\) là:

\(Q\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)=-4.\displaystyle\frac{1}{3}.\)

\(\)

43. Khi giải bài tập “Xét xem đa thức \(A(x) =-12x^4 + 5x^3 + 15x^2\) có chia hết cho đơn thức \(B(x) = 3x^2\) hay không”, bạn Hồng nói “Đa thức A(x) không chia hết cho đơn thức B(x) vì 5 không chia hết cho 3”, còn bạn Hà nói “Đa thức A(x) chia hết cho đơn thức B(x) vì số mũ của biến ở mỗi đơn thức của A(x) đều lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong B(x)”. Theo em, bạn nào nói đúng?

Giải

Ta có: \(A(x) : B(x) = (- 12x^4 + 5x^3 + 15x^2) : (3x^2)\)

\(= (- 12x^4 : 3x^2) + (5x^3 : 3x^2) + (15x^2 : 3x^2)\)

\(= -4x^2 + \displaystyle\frac{5}{3}x + 5.\)

Do đó \(A(x) ⋮ B(x).\)

Vậy bạn Hà nói đúng.

\(\)

44. Tính:

a) \((3x^3-7x^2 + 4x-4) : (x-2);\)

b) \((x^5 + x + 1) : (x^3-x).\)

Giải

a) \((3x^3-7x^2 + 4x-4) : (x-2)\)

Thực hiện phép chia đa thức như sau:

Vậy \((3x^3-7x^2 + 4x-4) : (x-2) = 3x^2-x + 2.\)

b) \((x^5 + x + 1) : (x^3-x).\)

Thực hiện phép chia đa thức như sau:

Vậy \((x^5 + x + 1) : (x^3-x) = x^3-x\) (dư \(2x + 1\)).

\(\)

45. Cho đa thức \(P(x) = 3x^3-2x^2 + 5.\) Chia đa thức \(P(x)\) cho đa thức \(Q(x)\ (Q(x) ≠ 0)\) được thương là đa thức \(S(x) = 3x-2\) và dư là đa thức \(R(x) = 3x + 3.\) Tìm đa thức \(Q(x).\)

Giải

Dựa vào quy tắc phép chia ta có:

\(P(x) = Q(x) . S(x) + R(x)\) hay \(P(x)-R(x) = Q(x) . S(x)\)

Suy ra \(Q(x) = [P(x)-R(x)] : S(x)\)

\(= [(3x^3-2x^2 + 5)-(3x + 3)] : (3x-2)\)

\(= (3x^3-2x^2 + 5-3x-3) : (3x-2)\)

\(= (3x^3-2x^2-3x + 2) : (3x-2)\)

Thực hiện phép chia đa thức như sau:

Khi đó \(Q(x) = (3x^3-2x^2-3x + 2) : (3x-2) = x^2-1.\)

\(\)

46. a) Tìm số dư của phép chia đa thức \(4x^4-2x^2 + 7\) cho \(x + 3.\)

b) Tìm đa thức bị chia, biết đa thức chia là \(x^2-2x + 3,\) thương là \(x^2-2,\) dư là \(9x-5.\)

Giải

a) Thực hiện phép chia đa thức như sau:

Vậy thực hiện phép chia đa thức \(4x^4-2x^2 + 7\) cho \(x + 3,\) ta được thương là \(4x^3-12x^2 + 34x-102\) và số dư là \(313.\)

b) Dựa vào quy tắc phép chia ta có đa thức bị chia là:

\((x^2-2x + 3) . (x^2-2) + (9x-5)\)

\(= x^2 . (x^2-2)-2x . (x^2-2) + 3 . (x^2-2) + 9x-5\)

\(= x^4-2x^2-2x^3 + 4x + 3x^2-6 + 9x-5\)

\(= x^4-2x^3 + (- 2x^2 + 3x^2) + (4x + 9x) + (-6-5)\)

\(= x^4-2x^3 + x^2 + 13x-11\)

Vậy đa thức bị chia cần tìm là \(x^4-2x^3 + x^2 + 13x-11.\)

\(\)

47. a) Tìm số a sao cho \(10x^2-7x + a\) chia hết cho \(2x-3.\)

b) Tìm số a sao cho \(x^3-10x + a\) chia hết cho \(x-2.\)

Giải

a) Thực hiện phép chia đa thức như sau:

Do đó số dư của phép chia là \(a + 12.\)

Để \(10x^2-7x + a\) chia hết cho \(2x-3\) thì số dư bằng \(0,\) tức là \(a + 12 = 0.\)

Suy ra \(a = -12.\)

Vậy \(a =-12\) thì \(10x^2-7x + a\) chia hết cho \(2x-3.\)

b) Thực hiện phép chia đa thức như sau:

Do đó số dư của phép chia trên là \(a-12.\)

Để \(x^3-10x + a\) chia hết cho \(x-2\) thì số dư bằng \(0,\) tức là \(a-12 = 0.\)

Suy ra \(a = 12.\)

Vậy \(a = 12\) thì \(x^3-10x + a\) chia hết cho \(x-2.\)

\(\)

48*. Tìm \(n ∈ ℤ\) để \(2n^2-n\) chia hết cho \(n + 1.\)

Giải

Thực hiện phép chia đa thức như sau:

Do đó: Nếu \(2n^2-n\)chia hết cho \(n+1\) thì \(n+1\) là ước của \(3\) mà \(Ư(3) = \{-1;\ 1;\ -3;\ 3\}\) (với \(n + 1 ≠ 0\)).

Ta có bảng sau:

n+1	-3	-1	1	3
n	-4	-2	0	2

Vậy \(n ∈ \{-4;\ -2;\ 0;\ 3\}\) (thõa mãn điều kiện \(n+1≠ 0\).

\(\)

49. Một mảnh đất có dạng hình thang vuông với đáy bé là 10 m, chiều cao là 2x + 5 (m). Người ta mở rộng mảnh đất đó để được mảnh đất có dạng hình chữ nhật như Hình 6. Biết diện tích của phần đất mở rộng (phần tô đậm) là 6x² + 13x – 5 (m²), tính diện tích của mảnh đất lúc ban đầu.

Giải

Diện tích của tam giác BMC:

\(\displaystyle\frac{1}{2}. BC . BM = \displaystyle\frac{1}{2}. (2x + 5) . BM \ (m^2).\)

Theo đề bài \(S_{BMC} = 6x^2 + 13x-5\ (m^2).\)

Do đó \(\displaystyle\frac{1}{2}. (2x + 5) . BM = 6x^2 + 13x-5\)

\((2x + 5).BM = 2 . (6x^2 + 13x-5)\)

\(= (12x^2 + 26x-10) : (2x + 5)\)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau: